M=9/xy+17/(x^2+y^2)=17/(x^2+y^2)+17/2xy+1/2xy=17.(1/x^2+y^2 + 1/2xy) + 1/2xy 

Áp dụng bđt cauchy dạng 1/a+1/b >/ 4/(a+b) và ab </ [(a+b)/2]^2

Ta có M >/ 17.4/16^2 + 1/2.8^2 = 35/128=>minM=35/128

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=8

ta đi chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)(tự chứng minh nhé, nhân chéo lên xong phân tích ra nó sẽ ra (a-b)^2/ab lớn hơn bằng 0)

\(M=\frac{18}{2xy}+\frac{17}{x^2+y^2}\ge\frac{17.4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{2xy}\)

Chứng minh được \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\forall x,y>0\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{68}{16^2}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{17}{64}+\frac{2}{16^2}=\frac{35}{128}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=8

Với x, y thực dương áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(P=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)

\(=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{\left(x+y\right)^2-2xy}{xy}\)

\(=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\left(\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}+4\right)-6\)

\(\ge\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+2\sqrt{\frac{4\left(x+y\right)^2}{xy}}-6\)

\(=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{4\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}}-6\)

\(\ge2\sqrt{\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}.\frac{4\left(x+y\right)}{xy}}-6=2\sqrt{16.4}-6=10\)

Vậy P_min = 10 tại x = y.

áp dụng bđt cauchy ->x+y\(\supseteq\)2\(\sqrt{xy}\)

x²+y²\(\supseteq\)2xy

nên P\(\supseteq\)\(\frac{16\sqrt{xy}}{2\sqrt{xy}}\)+\(\frac{2xy}{xy}\)=8+2=10

dấu = xảy ra\(\Leftrightarrow\)x=y

Bạn #ductuannguyen SAI. 

Đề có vẻ không đầy đủ lắm. Bạn coi lại. 

(x+y)^2/x^2+y^2+(x+y)^2/xy>=(x+y)^2/x^2+y^2+xy

Dấu = xảy ra khi (x+y)^2/2xy=x/2y+y/2x+1

=>Min=2

-5

\(y\ge1+xy\Rightarrow1\ge\dfrac{1}{y}+x\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le4\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)

\(G=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{16x}\right)+\dfrac{15}{16}.\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{16xy}}+\dfrac{15}{16}.4=\dfrac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)