Ta có MNPQ là hình chữ nhật tâm O => M,N,P,Q cùng thuộc (O;OM)

Xét ΔABD có 

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD

Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: MQ//BD và MQ=BD/2(1)

Xét ΔBCD có 

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của CD

Do đó: NP là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: NP//BD và NP=BD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//AC và MN=AC/2

hay MN\(\perp\)MQ

Xét tứ giác MNPQ có 

MQ//NP

MQ=NP

Do đó: MNPQ là hình bình hành

mà \(\widehat{QMN}=90^0\)

nên MNPQ là hình chữ nhật

hay M,N,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn

Xét ΔABD có 

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD

Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: MQ//BD và MQ=BD/2(1)

Xét ΔBCD có 

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của CD

Do đó: NP là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: NP//BD và NP=BD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//AC và MN=AC/2

hay MN\(\perp\)MQ

Xét tứ giác MNPQ có 

MQ//NP

MQ=NP

Do đó: MNPQ là hình bình hành

mà \(\widehat{QMN}=90^0\)

nên MNPQ là hình chữ nhật

hay M,N,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn

@ Trần Ngọc Huyền @  Em lần sau nhớ chia bài ra đăng nhiều lần nhé! . 

Đồng ý với cô Nguyễn Thị Linh Chi

Đăng nhiều thế mới nhìn đã choáng

Em tham khảo link dưới

chứng minh MNPQ là hình chữ nhật

=> M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Câu hỏi của Nàng tiên cá - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

MN,NP,PQ,QM lần lượt là đtb tam giác ABC,BCD,ACD,ABD

Do đó MN//AC;NP//BD;PQ//AC;QM//BD

Mà AC⊥BD nên MN⊥NP;PQ⊥QM

Do đó \(\widehat{MNP}+\widehat{PQM}=90^0+90^0=180^0\)

Vậy MNPQ nội tiếp (đpcm)