a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100\)

=>\(BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên \(AI=\dfrac{BC}{2}=5\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác AMIN có

\(\widehat{AMI}=\widehat{ANI}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>AMIN là hình chữ nhật

c: Xét ΔABC có

I là trung điểm của CB

IN//AB

Do đó: N là trung điểm của AC

Xét tứ giác AICD có

N là trung điểm chung của AC và ID

=>AICD là hình bình hành

Hình bình hành AICD có AC\(\perp\)ID

nên AICD là hình thoi

a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI là đường cao

b: Ta có: I là trung điểm của BC

nên IB=IC=4cm

Xét ΔAIB vuông tại I có

\(AB^2=AI^2+BI^2\)

hay \(AB=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

c: Xét ΔAMI vuông tại M và ΔANI vuông tại N có 

AI chung

\(\widehat{MAI}=\widehat{NAI}\)

Do đó; ΔAMI=ΔANI

Suy ra; IM=IN

d: Xét ΔABC có 

AM/AB=AN/AC

Do đó: MN//BC

a: Xét ΔAIB và ΔAIC có

AI chung

IB=IC

AB=AC
Do đó: ΔAIB=ΔAIC

b: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI là đường cao

Ta có: I là trung điểm của BC

nên IB=IC=3cm

=>AI=4cm

a) Xét Δ AIB và Δ AIC có : 

AI chung                                } =>Δ AIB = Δ AIC 

AB = AC (gt)                          } (c.c.c)

IB = IC (I là trung điểm BC) } 

=> ∠AIB = ∠AIC 92 góc tương ứng)  } => ∠AIB = ∠AIC = 90° 

Mà : ∠AIB + ∠AIC = 180°                     } => AI ⊥ BC 

Vì I là trung điểm BC nên :

=> IB = IC =  =  = 3 cm

ΔAIB vuông tại I , theo định lí Py-ta-go:

=> AI² = AB² - IB² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16 => AI = 4 cm

b) Xét Δ vuông INA và Δ vuông IMA có : 

AI chung                                          } => Δ vuông INA = Δ vuông IMA 

∠MAI = ∠NAI (2 góc tương ứng) }  (c.h-g.n)

                                                           => IM = IN (2canhj tương ứng)

Nếu ∠MAN = 120° , mà IM = IN => Δ IMN là Δ cân

đó

_{Ai vẽ hình giúp tớ với TOT}

a/ Ta có

\(AB\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow AM\perp AC;IN\perp AC\left(gt\right)\) => AM//IN

\(AC\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow AN\perp AB;IM\perp AB\left(gt\right)\) => AN//IM

=> AMIN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(\widehat{A}=90^o\)

=> AMIN là HCN

b/

Ta co

AM//IN (cmt) =>AB//IK 

BK//AI (gt)

=> ABKI là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh) => BK=AI (cạnh đối hbh)

c/

Xét tg vuông ABC có

\(AI^2=BI.CI\) (Trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow3AI^2=3.BI.CI\) (1)

Xét tg vuông MBI có 

\(BM^2=BI^2-MI^2\) (2) (Pitago)

Xét tg vuông NCI có

\(CN^2=CI^2-NI^2\) (3) (Pitago)

Cộng 2 vế của (1) (2) (3) ta có

\(3AI^2+BM^2+CN^2=BI^2+CI^2+3.BI.CI-\left(MI^2+NI^2\right)=\)

\(=\left(BI+CI\right)^2+BI.CI-\left(MI^2+NI^2\right)=\)

\(=BC^2+BI.CI-\left(MI^2+NI^2\right)\) (4)

Ta có

\(BI.CI=AI^2\left(cmt\right)\) (5)

Xét tg vuông AIN có

\(AI^2=AN^2+NI^2\)

Do AMIN là HCN (cnt) => AN=MI

\(\Rightarrow AI^2=MI^2+NI^2\) (6)

Thay (5) và (6) vào (4) ta có

\(3AI^2+BM^2+CN^2=BC^2+AI^2-AI^2\)

\(\Rightarrow BC^2=3AI^2+BM^2+CN^2\left(dpcm\right)\)

Đây là toán mà bạn ơi

a: BC=10cm

=>AI=5cm

b: Xét tứ giác AMIN có

góc AMI=góc ANI=góc MAN=90 độ

nên AMIN là hình chữ nhật

c: Xét ΔABC có

I là trung điểm của BC

IN//AB

Do đó: N là trung điểm của AC

Xét tứ giác ADCI có

N là trung điểm chung của AC và DI

IA=IC

Do đó: ADCI là hình thoi