Vì \(f\left(x\right)⋮x-2;f\left(x\right):x^2-1\) dư 1\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\\f\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x^2-1\right)+x=q\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+x\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(1\right)=1\\f\left(-1\right)=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}32+4a+2b+c=0\\2+a+b+c=1\\2+a-b+c=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b+c=-32\left(1\right)\\a+b+c=-1\left(2\right)\\a-b+c=-3\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

 Trừ từng vế của (2) cho (3) ta được:

\(\Rightarrow2b=2\Rightarrow b=1\)

Thay b=1 vào lần lượt (1) ,(2),(3) ta được:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2+c=-32\\a+1+c=-1\\a-1+c=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\\a+c=-2\\a+c=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\left(4\right)\\a+c=-2\left(5\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ từng vế của (4) cho (5) ta được:

\(\Rightarrow3a=-32\Rightarrow a=-\dfrac{32}{3}\Rightarrow c=-2+\dfrac{32}{3}=\dfrac{26}{3}\) Vậy...

$f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left({}^{}-2x-2\right)$ và đây là cách phân tích duy nhất mà các hệ số của nhân tử đều nguyên.

Do đó f(x) cho hết ${}^{}+ax+b$ khi ${}^{}-2x-2$ chia hết ${}^{}+ax+\mathrm{b.}$

$\Rightarrow a=b=-2$

Ta có:

\(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^2-x-2\right)\) và đây là cách phân tích duy nhất mà các hệ số của nhân tử đều nguyên 

Do đó f(x) cho hết \(x^2+ax+b\)  khi \(x^2-2x-2\)  chia hết \(x^2+ax+b\)

=>a=b= -2

\(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^2-2x-2\right)\) và đây là cách phân tích duy nhất mà các hệ số của nhân tử đều nguyên 

Do đó f(x) cho hết \(x^2+ax+b\) khi \(x^2-2x-2\) chia hết \(x^2+ax+b\)

\(\Rightarrow a=b=-2\)

Lời giải:

\(x^3-3x^2+2=x(x^2+ax+b)-(a+3)(x^2+ax+b)+(a^2+3a-b)x+b(a+3)+2\)

Để $f(x)$ chia hết cho $x^2+ax+b$ thì:

\(\left\{\begin{matrix} a^2+3a-b=0\\ b(a+3)+2=0\end{matrix}\right.\)

Với $a,b$ nguyên ta dễ dàng tìm được $a=b=-2$

Ta có:

\(f\left(1\right)=a+b+c\text{⋮7 }\)

\(f\left(2\right)=4a+2b+c⋮7\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)-f\left(1\right)=3a+b⋮7\)

\(f\left(3\right)=9a+3b+c=3\left(3a+b\right)+c⋮7\)

Mà \(3a+b⋮7\)

\(\Rightarrow c⋮7\)

Mà \(a+b+c⋮7\)

\(\Rightarrow a+b⋮7\)

Mà \(4a+2b+c⋮7\)

\(\Rightarrow4a+2b=2\left(2a+b\right)⋮7\)

\(2\text{̸ ⋮̸7}\)

\(\Rightarrow2a+b⋮7\)

Mà \(a+b⋮7\)

\(\Rightarrow\left(2a+b\right)-\left(a+b\right)=a⋮7\)

Có \(a⋮7;c⋮7;a+b+c⋮7\)

\(\Rightarrow b⋮7\)

\(f\left(m\right)=am^2+bm+c\)

Như vậy \(\Rightarrow am^2⋮7;bm⋮7;c⋮7\)

\(\Rightarrow a.x^2+bx+c⋮7\)

Do đó với bất kỳ giá trị nào của m nguyên thì f(m)⋮7

-Áp dụng định lí Bezout:

\(P\left(-1\right)=\left(-1\right)^4-6.\left(-1\right)^3+7.\left(-1\right)^2+a.\left(-1\right)+b=0\)

\(\Rightarrow1+6+7-a+b=0\)

\(\Rightarrow a-b=14\left(1\right)\)

\(P\left(-2\right)=\left(-2\right)^4-6.\left(-2\right)^3+7.\left(-2\right)^2+a.\left(-2\right)+b=0\)

\(\Rightarrow16+48+28-2a+b=12\)

\(\Rightarrow2a-b=80\left(2\right)\)

-Từ (1) và (2) suy ra: \(a=66;b=52\)

dùng bezout đi

thay x=2;-2 ra hpt

Giả sử : x² - 4 = 0 \(\Rightarrow\)x² - 2² = 0\(\Rightarrow\)( x - 2 )( x + 2 ) = 0 \(\Rightarrow\)x = 2 và x = - 2 nên x có 2 nghiêm là x = 2 và x = - 2

Ta có : 

_{f( 2 )} = 2⁴ + 2a + b = 16 + 2a + b

_{f( - 2 )} = ( - 2 )⁴ - 2a + b = 16 - 2a + b

Để f_{( x )} \(⋮\)g_{( x )} thì 16 + 2a + b = 0 ( 1 )và 16 - 2a + b = 0 ( 2 )

Ta lấy ( 1 ) - ( 2 ) ta được : 32 + 2b = 0

                                  \(\Rightarrow\)2b = - 32

                                  \(\Rightarrow\)b = - 16  

Thay b = - 16 vào ( 2 ) ta được :

            16 - 2a - 16 = 0

\(\Rightarrow\)- 2a = 0 

\(\Rightarrow\)a = 0

Vậy : a = 0 và b = - 16