Cho tam thức bậc hai f(x) = ax^2 + bx + c >0 với mọi x thuộc R. Cmr f(x) luôn biểu diễn thành tổng bình phương hai nhị thức bậc nhất.
Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2 + bx + c , a khác 0
CM rằng nếu f(x) \(\ge0\) với mọi \(x\in R\) thì 4a + c \(\ge2b\)
\(f\left(x\right)\ge0\) \(\forall x\in R\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta=b^2-4ac\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\4ac\ge b^2\end{matrix}\right.\)
Do \(b^2\ge0\) \(\forall b\Rightarrow4ac\ge0\) ; mà a>0 \(\Rightarrow c\ge0\) (ta được phép áp dụng BĐT Cô-si với hai số a, c)
Từ \(4ac\ge b^2\Rightarrow16ac\ge4b^2\Rightarrow4\sqrt{ac}\ge2b\) (1)
Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có: \(4a+c\ge2\sqrt{4ac}=4\sqrt{ac}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4a+c\ge2b\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}b^2=4ac\\4a=c\end{matrix}\right.\Rightarrow b^2=c^2=16a^2}\)
1.Tìm f(x)=x3+ax2+bx+c biết x thuộc [-1;1] thì /f(x) /≤1/4
2.Cho đa thức bậc 2: f(x) =ax22+bx+c thỏa mãn điều kiện:/f(-1)/≤1;/f(0)/≤1;/f(1)/≤1
CMR:/2ax+b/≤4 với mọi x thỏa mãn/x/≤1
1. Xác định các đa thức sau:
a) Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b với a≠0, biết f(-1) = 1 và f(1) = -1
b) Tam thức bậc hai \(g\left(x\right)=ax^2+bx+c\) với a≠0, biết g(-2) = 9, g(-1) = 2, g(1)=6
2.a) Đa thức f(x) = ax + b (a≠0). Biết f(0) = 0. Chứng minh f(x) = -f(-x) với mọi x
b) Đa thức f(x) = ax2 + bx + c (a≠0). Biết f(1) = f(-1). Chứng minh f(x) = f(-x) với mọi x.
3. Tìm tổng các hệ số của đa thức sau khi phá ngoặc và sắp xếp, biết:
a) Đa thức \(f\left(x\right)=\left(2x^3-3x^2+2x+1\right)^{10}\)
b) Đa thức \(g\left(x\right)=\left(3x^2-11x+9\right)^{2011}.\left(5x^4+4x^3+3x^2-12x-1\right)^{2012}\)
1.a) Theo đề bài,ta có: \(f\left(-1\right)=1\Rightarrow-a+b=1\)
và \(f\left(1\right)=-1\Rightarrow a+b=-1\)
Cộng theo vế suy ra: \(2b=0\Rightarrow b=0\)
Khi đó: \(f\left(-1\right)=1=-a\Rightarrow a=-1\)
Suy ra \(ax+b=-x+b\)
Vậy ...
Tớ nêu hướng giải bài 3 thôi nhé:
Bài toán: Cho đa thức \(f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)
Chứng minh tổng các hệ số của đa thức f(x) là giá trị của đa thức khi x = 1
Lời giải:
Thật vậy,thay x = 1 vào:
\(f\left(1\right)=a_n+a_{n-1}+...+a_1+a_0\) (đúng bằng tổng các hệ số của đa thức)
Vậy tổng các hệ số của 1 đa thức chính là giá trị của đa thức đó khi x = 1 (đpcm)
Cho tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\ \left(a\ khác\ 0\right)\)
Chứng minh rằng nếu f(x) \(\ge\) 0 với mọi \(x\varepsilon R\) thì 4a + c \(\ge\) 2b
cho tam thức bậc hai f (x) = 3x^2 -6(2m + 1)x +12m +5 tìm m để f (x) > 0 với mọi x thuộc R
Lời giải:
Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2
\(f(x)=3x^2-6(2m+1)x+12m+5>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow \Delta'=9(2m+1)^2-3(12m+5)<0\)
\(\Leftrightarrow 36m^2-6<0\Leftrightarrow -\sqrt{\frac{1}{6}}< m<\sqrt{\frac{1}{6}}\)
Cho các nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b và g(x) =bx+a
Cmr: nếu x0 là nghiệm của f(x) thì 1/x0 là nghiệm của g(x)
Nếu x0 là một nghiệm của f(x) thì \(a.x_0+b=0\Rightarrow a=\dfrac{-b}{x_0}\)
Nếu \(x=\dfrac{1}{x_0}\)
\(\Rightarrow\dfrac{b}{x_0}+a=\dfrac{b}{x_0}+\left(-\dfrac{b}{x_0}\right)=0\)
\(\Rightarrowđpcm.\)
Giúp mình nha mọi người!
Cho tam thức bậc hai: f(x)=ax^2+bx+c (a khác 0) xác định a,b,c biết f(1)=2;f(3)=8
Cảm ơn nhiều nha!
1. Cho \(f\left(x\right)=x^{2n}-x^{2n-1}+x^{2n-2}-...+x^2-x+1\)
\(g\left(x\right)=1-x+x^2-...+x^{2n-2}-x^{2n-1}+x^{2n}\)
Tính giá trị của đa thức h(x) tại x=2012, biết \(h\left(x\right)=\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right).\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)\)
2. Xác định các đa thức sau:
a) Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b với \(a\ne0\), biết f(-1) = 1 và f(1) = -1
b) Tam thức bậc hai \(g\left(x\right)=ax^2+bx+c\) với \(a\ne0\), biết g(-2) = 9, g(-1) = 2, g(1)=6
3. a) Đa thức f(x) = ax + b \(\left(a\ne0\right)\). Biết f(0) = 0. Chứng minh f(x) = -f(-x) với mọi x
b) Đa thức f(x) = ax2 + bx + c \(\left(a\ne0\right)\). Biết f(1) = f(-1). Chứng minh f(x) = f(-x) với mọi x.
Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c,a>0,a,b,c\(\in\)Z
tm f(x) có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng(0;1) CMR a>/=5