a.

- Với \(m=\pm1\Rightarrow-6x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}\) có nghiệm

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)

- Với \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow1-m^2>0\)

\(f\left(0\right)=-1< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(1-m\right)^2x^3-6x-1\right]\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-m^2-\dfrac{6}{m^2}-\dfrac{1}{m^3}\right)=-\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)

- Với \(-1< m< 1\Rightarrow1-m^2< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left[\left(1-m^2\right)-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right]=+\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)

Vậy pt đã cho có nghiệm với mọi m

b. Để chứng minh pt này có đúng 1 nghiệm thì cần áp dụng thêm kiến thức 12 (tính đơn điệu của hàm số). Chỉ bằng kiến thức 11 sẽ ko chứng minh được

c. 

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5\)

Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R

\(f\left(2\right)=4-5=-1< 0\)

\(f\left(3\right)=6-5=1>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\) với mọi m

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;3) với mọi m

Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm

Đề bài sai/thiếu

Ví dụ: \(x=y=z=0\) thì \(2x^3=3y^3=4z^3\) nhưng \(\dfrac{\sqrt[3]{2x^2+3y^2+4z^2}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}}=0\)

Nếu thêm điều kiện \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\) (với \(x;y;z\ne0\))

Đặt \(2x^3=3y^3=4z^3=k^3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{k}{\sqrt[3]{2}}\\y=\dfrac{k}{\sqrt[3]{3}}\\z=\dfrac{k}{\sqrt[3]{4}}\end{matrix}\right.\)

Thay vào \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\Rightarrow\dfrac{\sqrt[3]{2}}{k}+\dfrac{\sqrt[3]{3}}{k}+\dfrac{\sqrt[3]{4}}{k}=1\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}=k\) 

Lại có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^3=k^3\Rightarrow2x^2=\dfrac{k^3}{x}\\3y^3=k^3\Rightarrow3y^2=\dfrac{k^3}{y}\\4z^3=k^3\Rightarrow4z^2=\dfrac{k^3}{z}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2x^2+3y^2+4z^2=k^3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=k^3\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt[3]{2x^2+3y^2+4z^2}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}}=\dfrac{\sqrt[3]{k^3}}{k}=1\)

a) A = 2x(x - 3) - (2x - 2)(x - 2)

A = 2x² - 6x - 2x² + 4x + 2x - 4

A = (2x² - 2x²) + (-6x + 4x + 2x) - 4

A = -4

Vậy: biểu thức có giá trị không phụ thuộc vào biến

b) B = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7)

B = 6x² + 33x - 10x - 55 - 6x² - 14x - 9x - 21

B = (6x² - 6x²) + (33x - 14x - 9x) + (-55 - 21)

B = -76

Vậy: biểu thức có giá trị không phụ thuộc vào biến

a) A = 2x(x - 3) - (2x - 2)(x - 2)

   A = 2x² - 6x - 2x² + 4x + 2x - 4

  A = -4

=> biểu thức A có giá trị ko phụ thuộc vào biến

b) B = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7)

B = 6x² + 33x - 10x - 55 - 6x² - 14x -  9x - 21

B = -76

=> Biểu thức B có giá trị ko phụ thuộc vào biến

a) A = 2x(x-3)-(2x-2)(x-2)

A= 2x² - 6x- 2x²+4x+2x-4x-4

A= (-4) 

=> A ko phụ thuộc vào giá trị của biến

B= (3x-5)(2x+11)-(2x+3)(3x+7)

B= 6x² + 33x - 10x - 55 --6x² - 14x - 9x - 21

B= 0 + 0 - 76 

=> B = (-76)

=> B ko phụ thuộc vào giá trị của biến

thiếu đề rồi bạn

\(x^4+2x^3-x^2-2x\)

\(=\left(x^4-x^3\right)+\left(3x^3-3x^2\right)+\left(2x^2-2x\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^3+3x^2+2x\right)\)

\(=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

Bạn xét TRường hợp, chứng minh được tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3, tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8

Từ đó suy ra chia hết cho 24

Ta có: \(VT=\frac{4x^2-4xy+y^2}{y^3-6y^2x+12ỹ^2-8x^3}\)

\(=\frac{\left(2x-y\right)^2}{\left(y-2x\right)^3}=-\frac{\left(2x-y\right)^2}{\left(2x-y\right)^3}=\frac{-1}{2x-y}=VP\)(đpcm)