Ta có : \(x^3+y^3=9< =>\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=9\)

\(< =>x^2-xy+y^2=3\)

\(< =>\left(x+y\right)^2-3xy=3\)

\(< =>3xy=6< =>xy=2\)

giờ bạn chỉ cần giải hpt đơn giản này là đc nhé

Ta có : pt 1 <=> xy(x+y) = 2

kết hợp với pt 2 ta được \(x^2y^2+xy+1=3xy\)

\(< =>\left(xy+2\right)^2-\sqrt{3}^2=0\)

\(< =>\left(xy+2-\sqrt{3}\right)\left(xy+2+\sqrt{3}\right)=0\)

\(< =>\orbr{\begin{cases}xy=2-\sqrt{3}\\xy=2+\sqrt{3}\end{cases}}\)

đến đây dễ r , sai chỗ nào bạn chỉ mình nhé

17. \(\hept{\begin{cases}x+y=3\\x^3+y^3=9\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=3\\\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=9\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=3\\\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]=9\end{cases}}\)

\(\Rightarrow3\left(3^2-3xy\right)=9\)

\(\Leftrightarrow9-3xy=3\)

\(\Leftrightarrow3xy=6\)

\(\Leftrightarrow xy=2\)

theo viet thì x;y là nghiệm của pt \(x^2-Sx+P=0\) trong đó \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}}\)

nên  : \(x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\)

b, \(\hept{\begin{cases}x^2y+xy^2=2\\\left(x+y\right)\left(x^2y^2+xy+1\right)=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy\left(x+y\right)=2\\\left(x+y\right)\left(x^2y^2+xy+1\right)=6\end{cases}}\)

đặt \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}}\) hệ trở thành 

\(\hept{\begin{cases}PS=2\\S\left(P^2+S+1\right)=6\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}P=\frac{2}{S}\left(S\ne0\right)\\S\left(\frac{4}{S^2}+S+1\right)=6\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{4}{S}+S^2+S=6\)

\(\Leftrightarrow S^3+S^2-6S+4=0\)

\(\Leftrightarrow S^3-S^2+2S^2-2S-4S+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(S-1\right)\left(S^2+2S-1\right)=0\)

thôi ra cái đoạn S = 1 thì tính P, chứ 2 trường hợp còn lại xấu rồi P còn xấu hơn

\(a^2+b⋮ab-1\Rightarrow b\left(a^2+b\right)-a\left(ab-1\right)⋮ab-1\)

\(\Rightarrow a+b^2⋮ab-1\)

Do đó, vai trò của a và b là hoàn toàn như nhau.

TH1: \(a=b\Rightarrow\dfrac{a^2+a}{a^2-1}\in Z\Rightarrow\dfrac{a}{a-1}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{1}{a-1}\in Z\)

\(\Rightarrow a=2\Rightarrow a=b=2\)

TH2: \(b>a\Rightarrow b\ge a+1\)

Do \(a^2+b⋮ab-1\Rightarrow a^2+b\ge ab-1\) (nếu \(a< b\) ta sẽ xét với \(a+b^2⋮ab-1\) cho kết quả tương tự nên ko cần TH3 \(a>b\))

\(a^2-1+2\ge ab-b\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)+2\ge b\left(a-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)\le2\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)=\left\{0;1;2\right\}\)

TH2.1: \(\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=a+1\end{matrix}\right.\)

- Với \(a=1\Rightarrow\dfrac{b+1}{b-1}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{2}{b-1}\in Z\Rightarrow b=\left\{2;3\right\}\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(1;2\right);\left(1;3\right)\) (và 2 bộ hoán vị \(\left(2;1\right);\left(3;1\right)\) ứng với \(a>b\), lần sau sẽ hoán vị nghiệm luôn ko giải thích lại)

- Với \(b=a+1\Rightarrow\dfrac{a^2+a+1}{a^2+a-1}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{2}{a^2+a-1}\in Z\)

\(\Rightarrow a^2+a-1=\left\{1;2\right\}\Rightarrow a=1\Rightarrow b=2\) giống như trên

TH2.2: \(\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1=1\\b-a-1=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(2;4\right);\left(4;2\right)\) 

TH2.3: \(\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)=2=2.1=1.2\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(3;5\right);\left(5;3\right);\left(2;5\right);\left(5;2\right)\)

Vậy các bộ số thỏa mãn là: \(\left(1;2\right);\left(2;1\right);\left(1;3\right);\left(3;1\right);\left(2;2\right);\left(2;5\right);\left(5;2\right);\left(3;5\right);\left(5;3\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n^3+2n^2+1\right)\) cũng là SCP

\(\Rightarrow4\left(n^4+5n^3+6n^2+n+3\right)\) là SCP

\(\Rightarrow4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=k^2\)

Ta có:

\(4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n-1\right)^2+3n^2+14n+11>\left(2n^2+5n-1\right)^2\)

\(4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n+1\right)^2-\left(n-1\right)\left(5n+11\right)\le\left(2n^2+5n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2n^2+5n-1\right)^2< k^2\le\left(2n^2+5n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n\right)^2\\4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n^2-4n-12=0\\\left(n-1\right)\left(5n+11\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\\n=6\end{matrix}\right.\)

Thay lại kiểm tra thấy đều thỏa mãn