Ôn thi vào 10

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm Kim Oanh

Tìm tất cả các số nguyên dương  ( a, b)  thỏa mãn điều kiện 
\(\dfrac{a^2+b}{a.b-1}\)   là số nguyên dương .
P/s:  Em nhờ quý thầy cô giáo  gợi ý và giúp đỡ em tham khảo với ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!

Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 4 2022 lúc 0:08

\(a^2+b⋮ab-1\Rightarrow b\left(a^2+b\right)-a\left(ab-1\right)⋮ab-1\)

\(\Rightarrow a+b^2⋮ab-1\)

Do đó, vai trò của a và b là hoàn toàn như nhau.

TH1: \(a=b\Rightarrow\dfrac{a^2+a}{a^2-1}\in Z\Rightarrow\dfrac{a}{a-1}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{1}{a-1}\in Z\)

\(\Rightarrow a=2\Rightarrow a=b=2\)

TH2: \(b>a\Rightarrow b\ge a+1\)

Do \(a^2+b⋮ab-1\Rightarrow a^2+b\ge ab-1\) (nếu \(a< b\) ta sẽ xét với \(a+b^2⋮ab-1\) cho kết quả tương tự nên ko cần TH3 \(a>b\))

\(a^2-1+2\ge ab-b\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)+2\ge b\left(a-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)\le2\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)=\left\{0;1;2\right\}\)

TH2.1: \(\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=a+1\end{matrix}\right.\)

- Với \(a=1\Rightarrow\dfrac{b+1}{b-1}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{2}{b-1}\in Z\Rightarrow b=\left\{2;3\right\}\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(1;2\right);\left(1;3\right)\) (và 2 bộ hoán vị \(\left(2;1\right);\left(3;1\right)\) ứng với \(a>b\), lần sau sẽ hoán vị nghiệm luôn ko giải thích lại)

- Với \(b=a+1\Rightarrow\dfrac{a^2+a+1}{a^2+a-1}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{2}{a^2+a-1}\in Z\)

\(\Rightarrow a^2+a-1=\left\{1;2\right\}\Rightarrow a=1\Rightarrow b=2\) giống như trên

TH2.2: \(\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1=1\\b-a-1=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(2;4\right);\left(4;2\right)\) 

TH2.3: \(\left(a-1\right)\left(b-a-1\right)=2=2.1=1.2\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(3;5\right);\left(5;3\right);\left(2;5\right);\left(5;2\right)\)

Vậy các bộ số thỏa mãn là: \(\left(1;2\right);\left(2;1\right);\left(1;3\right);\left(3;1\right);\left(2;2\right);\left(2;5\right);\left(5;2\right);\left(3;5\right);\left(5;3\right)\)

 


Các câu hỏi tương tự
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết