Answer 1

Bài 1 : a, Theo BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel 

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c\)

b, \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{bc+ab}+\frac{c^4}{ac+bc}\)(1)

Theo BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Theo BĐT phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)( bạn nhân 2 vào 2 vế rồi tự cm nhé )

\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c 

Answer 2

chủ yếu là xài bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel nhé 

1a. Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel : 

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

=> đpcm . Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0

Answer 3

xl nhé em mới lớp 5 thôi ạ

Answer 4

1b . Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel :

\(\text{∑}\frac{a^3}{b+c}=\text{∑}\frac{a^4}{ab+bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)

bạn cm bđt ab + bc + ca ≤ a² + b² + c²

\(\Rightarrow\text{∑}\frac{a^3}{b+c}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)

=> đpcm . Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c > 0

Answer 5

2a . Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel :

\(\text{∑}\frac{a^2}{b+c-a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)

=> đpcm . Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c > 0

Answer 6

lạm dụng bđt đó quá , sao k dùng cô si cho khỏe . vừa ăn bánh cô sy vào nên gáy thôi :)))))

Theo bđt Cô si ta có :\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a\)

Tương tự và cộng theo vế ta được : \(LHS\ge a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)

Answer 7

2b . Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel :

\(\text{∑}\frac{a^3}{b+c-a}=\text{∑}\frac{a^4}{ab+ac-a^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

dùng bđt phụ cm ở 1b 

\(\Rightarrow\text{∑}\frac{a^3}{b+c-a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}=a^2+b^2+c^2\)

=> đpcm . Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0