Lời giải:
a)
Theo bổ đề: Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền dễ dàng suy ra $A\in (O)$
$\Rightarrow AMEB$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{MBE}=\widehat{MAE}=45^0$ (1)
$\widehat{BEM}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn) nên $BME$ là tam giác vuông tại $E$ (2)
Từ $(1);(2)$ suy ra $BME$ là tam giác vuông cân tại $E$.
b)
Từ kết quả phần a suy ra $EM=EB(3)$
Dễ dàng chứng minh $\triangle BEC=\triangle DEC$ (c.g.c)
$\Rightarrow BE=DE(4)$
Từ $(3);(4)\Rightarrow EM=ED$ (đpcm)
c)
Xét tứ giác $BECK$ có $\widehat{BEK}=\widehat{BCK}$ và cùng nhìn cạnh $BK$ nên $BECK$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{EBK}=\widehat{ECD}=\widehat{ACD}=45^0$
Do đó:
$\widehat{MBK}=\widehat{MBE}+\widehat{EBK}=45^0+45^0=90^0$
Xét tớ giác $BMDK$ có $\widehat{MBK}+\widehat{MDK}=90^0+90^0=180^0$ nên $BMDK$ là tứ giác nội tiếp
Suy ra đpcm.
d)
$\widehat{MBK}=90^0$ nên $MN\perp BK$ hay $OB\perp BK$
Do đó BK là tiếp tuyến của $(O)$ (đpcm)
