Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao BD và CE. BD cắt cung nhỏ AC tại R và CE cắt cung nhỏ AB tại L.
Cmr: LR // BC.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai đường cao AD, CE cắt nhau tại H
VẼ HÌNH VÀ GIẢI CHI TIẾT
Đề không rõ câu hỏi. Bạn xem lại.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai đường cao AD, CE cắt nhau tại H
a) Giả sử góc A =60. Tính độ dài cung nhỏ BC và diện tích viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC theo R
b) Kẻ đường kính AK cắt CE tại M, CK cắt AD tại F. Chứng minh: tứ giác BEHD nội tiếp và AH.AF=AM.AK
c) Gọi I là trung điểm của BC; EI cắt AK tại N. Chứng minh tứ giác EDNC là hình thang cân
a: góc BOC=2*60=120 độ
độ dài cung nhỏ BC là:
l=pi*R*120/360=pi*R/3
S qBC=pi*R^2/3
S OBC=1/2*R*R*sinBOC=1/4R^2
=>S vp BC=R^2(pi/3-1/4)
b: góc BDH+góc BEH=180 độ
=>BDHE nội tiếp
Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Vẽ đường cao BD và CE cắt tại H{ với De AC; E = AB). BD và CE lần
lượt cắt đường tròn tại M và N.
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn. b) Biết overline ACN = 30 deg . Tính số đo các cung nhỏ AN, MN
c) Chứng minh :OA 1 MN.
d) Gọi giao điểm của AH và BC là K. Chứng minh 2R.AK = AB.AC
a: Xét tứ giác BEDC có
góc BEC=góc BDC=90 độ
=>BEDC là tứ giác nội tiêp
b: góc ABM=góc ACN
=>sđ cung AM=sđ cung AN=2*30=60 độ
=>AM=AN
c: OM=ON
AM=AN
=>OA là trung trực của MN
=>OA vuông góc MN
d: Kẻ đường kính AD
Xét ΔACD vuông tại C và ΔAKB vuông tại K có
góc ADC=góc ABK
=>ΔACD đồng dạng với ΔAKB
=>AC/AK=AD/AB
=>AK*2*R=AB*AC
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, góc C=50° nội tiếp đường tròn (O; 2cm). hai đường cao BD và CE cắt mhau tại H. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. b) tính độ dài cung nhỏ AB. c) chứng minh góc EBD = góc ECD
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Hai đường cao $BD$, $CE$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$. Các tia $BD$, $CE$ cắt đường tròn $(O;R)$ lần lượt tại điểm thứ hai là $P$, $Q$.
1. Chứng minh rằng tứ giác $BCDE$ nội tiếp và cung $AP$ bằng cung $AQ$.
2. Chứng minh $E$ là trung điểm của $HQ$ và $OA \perp DE $.
3. Cho $\widehat{CAB} = 60^{\circ}$ , $R = 6$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AED$.
1.
Chứng minh được \widehat{CEB} = \widehat{BDC} = 90^{\circ}.
Suy ra 4 điểm B,E, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính CB nên tứ giác BCDE nội tiếp.
Có tứ giác BCDE nội tiếp nên \widehat{DCE} = \widehat{DBE} (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DE) hay \widehat{ACQ} = \widehat{ABP}.
Trong đường tròn tâm (O), ta có \widehat{ACQ} là góc nội tiếp chắn cung AQ và \widehat{ABP} nội tiếp chắn cung AP
\Rightarrow \overset{\frown}{AQ}=\overset{\frown}{AP}.
2.
(O) có \overset{\frown}{AQ}=\overset{\frown}{AP} nên \widehat{ABP} = \widehat{ABQ} hay \widehat{HBE} = \widehat{QBE}.
Ta chứng minh được BE vừa là đường cao, vừa là phân giác của tam giác HBQ nên E là trung điểm của HQ.
Chứng minh tương tự D là trung điểm của HP \Rightarrow DE là đường trung bình của tam giác HPQ \Rightarrow DE // PQ (1).
Do \overset{\frown}{AQ}=\overset{\frown}{AP} nên A là điểm chính giữa cung PQ \Rightarrow OA \perp PQ (2).
Từ (1) và (2) suy ra OA \perp DE.
3.
Kẻ đường kính CF của đường tròn tâm (O), chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH.
Chứng minh tứ giác AFBH là hình bình hành, suy ra BF=AH.
Trong đường tròn (O) có \widehat{CAB} = \widehat{CFB} = 60^{\circ}
cho tam giác ABC, AB<AC nội tiếp đường tròn (O), đường kính BC, AH là đường cao, D thuộc cung nhỏ AC, BD cắt AH tại E. Chứng minh DEHC nội tiếp
cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm (O) . Đường cao BD và đường cao CE cắt nhau tại H , BD cắt CE tại F, AF cắt đường tròn (O) tại K.
a, Cm : tứ giác BCDE nội tiếp, xác định tâm đường tròn.
b, cm : FA .FK = FE.FD;
c. CM : FH vuông góc với AM
Mình sửa lại đề: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O). Đường cao BD, CE cắt nhau tại H. EF cắt BC tại F. AF cắt lại (O) tại K. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Từ gt dễ thấy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm M.
b) Tứ giác BCDE nội tiếp nên theo phương tích ta có FB . FC = FD . FE.
Tứ giác AKBC nội tiếp nên theo phương tích ta có FK . FA = FB . FC.
Vậy ta có đpcm.
c) Ta có FA . FK = FE . FD nên theo phương tích đảo ta có tứ giác AKED nội tiếp.
Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính AH và FH là N.
Khi đó FH . FN = FE . FD = FB . FC.
Suy ra tứ giác BHNC nội tiếp.
Ta có \(\widehat{DNC}=360^o-\widehat{DNH}-\widehat{CNH}=\left(180^o-\widehat{DNH}\right)+\left(180^o-\widehat{CNH}\right)=\widehat{DEH}+\widehat{HBC}=2\widehat{HBC}=\widehat{DMC}\).
Do đó tứ giác DNMC nội tiếp.
Tương tự tứ giác ENMB nội tiếp.
Suy ra \(\widehat{DNM}+\widehat{DNA}=180^o-\widehat{ACB}+\widehat{AED}=180^o\) nên A, N, M thẳng hàng.
Từ đó \(\widehat{MHN}=\widehat{ANH}=90^o\) nên \(FH\perp AM\).
(Câu c là trường hợp đặc biệt của định lý Brocard khi tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm M).
SOS CÂU C VÀ D :))
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm P; đường thẳng CE cắt đường tròn (O) tại điêm thứ hai Q. Chứng minh rằng: a) BEDC là tứ giác nội tiếp.
b) HQ.HC = HP.HB
c) Đường thẳng DE song song với đường thẳng PQ.
d) Đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng P.
Xin lỗi bạn nhưng máy mình bị lỗi không vẽ hình được.
c) Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp (câu a) \(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{BCE}\) hay \(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{BCQ}\) (1)
Xét (O) có \(\widehat{BCQ}\) và \(\widehat{BPQ}\) là các góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BQ}\) \(\Rightarrow\widehat{BCQ}=\widehat{BPQ}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{BPQ}\left(=\widehat{BCQ}\right)\)
\(\Rightarrow DE//PQ\) (2 góc đồng vị bằng nhau)
d) Kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O) (ở đây mình lấy về phía B chứ còn bạn lấy tia tiếp tuyến này vế phía B hay phía C tùy)
Dễ thấy \(\widehat{BAx}\) và \(\widehat{ACB}\) lần lượt là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AB}\) \(\Rightarrow\widehat{BAx}=\widehat{ACB}\)
Tứ giác BEDC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ACB}\) (góc ngoài = góc trong đối)
\(\Rightarrow\widehat{BAx}=\widehat{AED}\left(=\widehat{ACB}\right)\) \(\Rightarrow Ax//DE\) ( 2 góc so le trong bằng nhau)
Vì \(DE//PQ\left(cmt\right)\) \(\Rightarrow Ax//PQ\)\(\left(//DE\right)\)
Mà \(Ax\perp OA\) tại A (do Ax là tiếp tuyến tại A của (O)) \(\Rightarrow OA\perp PQ\) (3)
Xét (O) có OA là 1 phần đường kính và \(OA\perp PQ\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\) OA đi qua trung điểm của PQ (4)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\) OA là trung trực của đoạn PQ
1) Cho (O) và (I) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Tia AI cắt (O) tại D, tia BI cắt (O) tại E, tia CI cắt (O) tại F (D khác A, E khác B, F khác C). Chứng minh rằng:
AD + BE + CF > AB + BC + CA
2) Cho tam giác cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R) (AB = AC và BAC = 300). Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ AB sao cho cung BD = 300, E là điểm thuộc cung nhỏ AC sao cho DE = AB và EA < EC, DE cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Tính: AB và AM theo R.