Cho: a,b,c thỏa mãn: a2014+ b2014+c2014= a1007b1007+ b1007c1007 + c1007a1007 Tính giá trị của biểu thức M= (a - b)20 + (b - c)11 + (a - c)2014
a) Cho a,b,c ∈ R thỏa mãn a+b+c = 0 và \(a^2+b^2+c^2\)=1. Tính giá trị của biểu thức S= \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
b) Cho đa thức bậc hai P(x) thỏa mãn P(1)=1, P(3)=3, P(7)=31. Tính giá trị của P(10)
a) Có:
\(a+b+c=0\\\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\\ \Leftrightarrow2ab+2bc+2ca=-1\\ \Leftrightarrow ab+bc+ca=-\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\dfrac{1}{4}-0=\dfrac{1}{4} \)
1. Cho a, b, c, d thỏa mãn: abcd=1.
Tính gía trị biểu thức:
M= \(\dfrac{a}{abc+ab+a+1}+\dfrac{b}{bcd+bc+b+1}+\dfrac{c}{cda+cd+1}+\dfrac{d}{dab+da+d+1}\)
2. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn: 0 ≤a, b, c, d ≤1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
N\(=\dfrac{a}{bcd+1}+\dfrac{b}{cda+1}+\dfrac{c}{dab+1}+\dfrac{d}{abc+1}\)
3. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: \(AB.BP+AC.CN=BC^2\)
b) Cho B, C cố định A thay đổi. Tìm vị trí điểm A để: MH,MA đạt max ?
c) Gọi S,S1,S2,S3 lần luợt là diện tích các tam giác ABC, APN, BMP, CMN.
Chứng minh: \(S_1.S_2.S_3\) ≤ \(\dfrac{1}{64}S_3\)
Bài 1: Ta có:
\(M=\frac{ad}{abcd+abd+ad+d}+\frac{bad}{bcd.ad+bc.ad+bad+ad}+\frac{c.abd}{cda.abd+cd.abd+cabd+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}\)
\(=\frac{ad}{1+abd+ad+d}+\frac{bad}{d+1+bad+ad}+\frac{1}{ad+d+1+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}\)
$=\frac{ad+abd+1+d}{ad+abd+1+d}=1$
Bài 2:
Vì $a,b,c,d\in [0;1]$ nên
\(N\leq \frac{a}{abcd+1}+\frac{b}{abcd+1}+\frac{c}{abcd+1}+\frac{d}{abcd+1}=\frac{a+b+c+d}{abcd+1}\)
Ta cũng có:
$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\leq ab+1$
Tương tự:
$c+d\leq cd+1$
$(ab-1)(cd-1)\geq 0\Rightarrow ab+cd\leq abcd+1$
Cộng 3 BĐT trên lại và thu gọn thì $a+b+c+d\leq abcd+3$
$\Rightarrow N\leq \frac{abcd+3}{abcd+1}=\frac{3(abcd+1)-2abcd}{abcd+1}$
$=3-\frac{2abcd}{abcd+1}\leq 3$
Vậy $N_{\max}=3$
3.
Hình vẽ:
Lời giải:
a) △AMC và △BNC có: \(\widehat{AMC}=\widehat{BNC}=90^0;\widehat{ACB}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△AMC∼△BNC (g-g).
\(\Rightarrow\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CM}{CN}\Rightarrow AC.CN=BC.CM\left(1\right)\)
b) △AMB và △CPB có: \(\widehat{AMB}=\widehat{CPB}=90^0;\widehat{ABC}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△AMB∼△CPB (g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BM}{BP}\Rightarrow AB.BP=BC.BM\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(AC.CN+AB.BP=BC.CM+BC.BM=BC.\left(CM+BM\right)=BC.BC=BC^2\left(đpcm\right)\)b) Gọi \(M_0\) là trung điểm BC, giả sử \(AB< AC\).
\(\widehat{HBM}=90^0-\widehat{BHM}=90^0-\widehat{AHN}=\widehat{CAM}\)
△HBM và △CAM có: \(\widehat{HBM}=\widehat{CAM};\widehat{HMB}=\widehat{CMA}=90^0\)
\(\Rightarrow\)△HBM∼△CAM (g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{MH}{CM}=\dfrac{BM}{MA}\Rightarrow MH.MA=BM.CM\)
Ta có: \(BM.CM=\left(BM_0-MM_0\right)\left(CM_0+MM_0\right)=\left(BM_0-MM_0\right)\left(BM_0+MM_0\right)=BM_0^2-MM_0^2\le BM_0^2=\dfrac{BC^2}{4}\)
\(\Rightarrow MH.MA\le\dfrac{BC^2}{4}\).
Vì \(BC\) không đổi nên: \(max\left(MH.MA\right)=\dfrac{BC^2}{4}\), đạt được khi △ABC cân tại A hay A nằm trên đường trung trực của BC.
c) Sửa đề: \(S_1.S_2.S_3\le\dfrac{1}{64}.S^3\)
△AMC∼△BNC \(\Rightarrow\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{MC}{NC}\Rightarrow\dfrac{AC}{MC}=\dfrac{BC}{NC}\)
△ABC và △MNC có: \(\dfrac{AC}{MC}=\dfrac{BC}{NC};\widehat{ACB}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△ABC∼△MNC (c-g-c)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{MNC}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{MC}{AC}.\dfrac{NC}{BC}\left(1\right)\)
Tương tự:
△ABC∼△MBP \(\Rightarrow\dfrac{S_{MBP}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_2}{S}=\dfrac{MB}{AB}.\dfrac{BP}{BC}\left(2\right)\)
△ABC∼△ANP \(\Rightarrow\dfrac{S_{ANP}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_3}{S}=\dfrac{AN}{AB}.\dfrac{AP}{AC}\left(3\right)\)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
\(\dfrac{S_1}{S}.\dfrac{S_2}{S}.\dfrac{S_3}{S}=\left(\dfrac{MC}{AC}.\dfrac{NC}{BC}\right).\left(\dfrac{MB}{AB}.\dfrac{BP}{BC}\right).\left(\dfrac{AN}{AB}.\dfrac{AP}{AC}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_1}{S}.\dfrac{S_2}{S}.\dfrac{S_3}{S}=\left(\dfrac{MC.MB}{AC.AB}\right).\left(\dfrac{BP.AP}{AC.BC}\right).\left(\dfrac{AN.CN}{AB.BC}\right)\) (*)
Áp dụng câu b) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}BM.CM\le\dfrac{1}{4}BC^2\\AP.BP\le\dfrac{1}{4}AB^2\\AN.CN\le\dfrac{1}{4}AC^2\end{matrix}\right.\)
Từ (*) suy ra:
\(\dfrac{S_1}{S}.\dfrac{S_2}{S}.\dfrac{S_3}{S}\le\left(\dfrac{\dfrac{1}{4}BC^2}{AC.AB}\right).\left(\dfrac{\dfrac{1}{4}AC^2}{AC.BC}\right).\left(\dfrac{\dfrac{1}{4}AB^2}{AB.BC}\right)=\dfrac{1}{64}\)
\(\Rightarrow S_1.S_2.S_3\le\dfrac{1}{64}.S^3\)
Dấu "=" xảy ra khi △ABC đều.
Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn a+b;b+c;c+a tỉ lệ thuận với 3,4,5. Tính giá trị của biểu thức M = 16a-2b-10c-2017
Lời giải:
Theo bài ra ta có:
$\frac{a+b}{3}=\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}=k$
$\Rightarrow a+b=3k; b+c=4k; c+a=5k$
$\Rightarrow a+b+c=(3k+4k+5k):2=6k$
$\Rightarrow a=(a+b+c)-(b+c)=2k; b=(a+b+c)-(a+c)=6k-5k=k; c=(a+b+c)-(a+b)=6k-3k=3k$
$\Rightarrow M=16a-2b-10c-2017=16.2k - 2.k-10.3k-2017=0k-2017=-2017$
cho ba ssos a,b,c thỏa mãn a/2009 = b/2010 = c/2011
tính giá trị của biểu thức : M = 4(a-b)(b-c) - (c-a)^2
a,Chứng minh bđt:
1,(a-1)(a-3)(a-4)(a-6)+9 ≥ 0
2,a2/b+c-a+b2/c+a-b+c2/a+b-c ≥ a+b+c (a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác)
b,Cho a2-4a+1=0.Tính giá trị của biểu thức A=a4+a2+1/a2
c,Cho a,b,c thỏa mãn 1/a+1/b+1/c=1/a+b+c.Tính giá trị của biểu thức M=(a5+b5)(b7+c7)(c2013+a2013)
1: (a-1)(a-3)(a-4)(a-6)+9
=(a^2-7a+6)(a^2-7a+12)+9
=(a^2-7a)^2+18(a^2-7a)+81
=(a^2-7a+9)^2>=0
b: \(A=\dfrac{a^4-4a^3+a^2+4a^3-16a+4+16a-3}{a^2}=\dfrac{16a-3}{a^2}\)
a^2-4a+1=0
=>a=2+căn 3 hoặc a=2-căn 3
=>A=11-4căn 3 hoặc a=11+4căn 3
cho 3 số a, b, c thỏa mãn; a/2009=b/2010=c/2011. tính giá trị của biểu thức : M= 4(a-b)(b-c)-(c-a)^2
Cho các số a, b, c thỏa mãn : a¹⁰ + b¹⁰ + c¹⁰ = a⁵b⁵ + b⁵c⁵ + c⁵a⁵.
Tính giá trị của biểu thức : A= ( a - b - 1 )²⁰²⁰ + ( b - c )²⁰²¹ + 2020.
Cho các số a, b, c thỏa mãn a¹⁰ + b¹⁰ + c¹⁰ = a⁵b⁵ + b⁵c⁵ + c⁵a⁵.
Tính giá trị của biểu thức A = ( a - b - 1 )²⁰²⁰ + ( b - c )²⁰²¹ + 2020.
Cho các số a, b, c thỏa mãn a¹⁰ + b¹⁰ + c¹⁰ = a⁵b⁵ + b⁵c⁵ + c⁵a⁵.
Tính giá trị của biểu thức A = ( a - b - 1 )²⁰²⁰ + ( b - c )²⁰²¹ + 2020.
Cho các số a, b, c thỏa mãn a¹⁰ + b¹⁰ + c¹⁰ = a⁵b⁵ + b⁵c⁵ + c⁵a⁵.
Tính giá trị của biểu thức A = ( a - b - 1 )²⁰²⁰ + ( b - c )²⁰²¹ + 2020.