dùng đồng dư đi :v 

2^2^2n=16^n

có 16 đồng dư 2 mod 7

=>16^n đồng dư 2 mod 7

=>16^n+5 đồng dư 0 mod 7

Lời giải:

Tổng của $n$ số hạng trong dãy là cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q$ là:

$S_n=u_1+u_2+....+u_n=u_1+u_1q+u_1q^2+...+u_1q^{n-1}$

$=u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$

$qS_n=u_1(q+q^2+q^3+...+q^n)$

$\Rightarrow qS_n-S_n=u_1(q+q^2+q^3+...+q^n)-u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$

$\Rightarrow S_n(q-1)=u_1(q^n-1)$

$\Rightarrow S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

Ta có đpcm.

\(a,n=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{1}{2}\left(đúng\right)\\ G\text{/}s:n=k\Leftrightarrow\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\\ \text{Với }n=k+1\\ \text{Cần cm: }\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k+1}{k+2}\\ \text{Ta có }VT=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k+1}{k+2}=VP\)

Vậy với \(n=k+1\) thì mệnh đề cũng đúng

Vậy theo pp quy nạp ta đc đpcm

Kí hiệu đăng thức cần chứng minh là (*)

+) Với n = 1 thì 1 = \(\frac{1.\left(1+1\right)}{2}\) => (*) đúng

+) Giả sử (*) đúng với n = k , tức là: 1 + 2 + 3 + ....+ k = \(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)

Ta chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, tức là: 1 + 2 + 3+ ...+ k + (k+1) = \(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)

Thật vậy, 1 + 2 + 3 + ....+ k + (k+1) = \(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\) + (k+1) = \(\frac{k\left(k+1\right)+2\left(k+1\right)}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)

=> (*) đúng với n = k+ 1

Vậy.....

1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1) + (n - 1 + 2) + ... (n:2 cặp)

= (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) (n:2 cặp)

= (n + 1).n : 2 (đpcm)

*Xét n=2=>\(1+...+n=1+2=3=\frac{6}{2}=\frac{2.3}{2}=\frac{2.\left(2+1\right)}{2}=\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\)

*Xét n=3=>\(1+...+n=1+2+3=6=\frac{12}{2}=\frac{3.4}{2}=\frac{3.\left(3+1\right)}{2}=\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\)

Giả sử mệnh đề luôn đúng với n=k, ta cần chứng minh mệnh đề luôn đúng với n=k+1

Ta có: \(1+...+n=1+...+k=\frac{k.\left(k+1\right)}{2}\)

=>\(1+...+k+\left(k+1\right)=\frac{k.\left(k+1\right)}{2}+\left(k+1\right)\)

=>\(1+...+\left(k+1\right)=\frac{k.\left(k+1\right)}{2}+\frac{2.\left(k+1\right)}{2}\)

=>\(1+...+\left(k+1\right)=\frac{k.\left(k+1\right)+2.\left(k+1\right)}{2}\)

=>\(1+...+\left(k+1\right)=\frac{\left(k+1\right).\left(k+2\right)}{2}\)

=>\(1+...+\left(k+1\right)=\frac{\left(k+1\right).\left(\left(k+1\right)+1\right)}{2}\)

=>Thoả mãn

=>Phép quy nạp đã được chứng minh

=>ĐPCM