Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) ta tìm được \(P=9\)

Ta sẽ chứng minh nó là \(GTLN\) của \(P\)

Thật vậy, ta cần chứng minh 

\(Σ\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{x}-\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(x-y\right)\left(x-6y\right)}{x\left(4x^2-xy+2y^2\right)}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(\frac{\left(x-y\right)\left(x-6y\right)}{x\left(4x^2-xy+2y^2\right)}+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy\left(4x^2-xy+2y^2\right)}\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(P_{Max}=9\) khi \(x=y=z=1\)

ggvcgfdsx

Cách giải khác:

Ta chứng minh bổ đề:

\(\dfrac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)(Đúng)

Tương tự ta cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}\le\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z};\dfrac{11z+4x}{4z^2-xz+2x^2}\le\dfrac{2}{z}+\dfrac{1}{x}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(P\le\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}=\dfrac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}=9\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Câu hỏi của Neet - Toán lớp 10 | Học trực tuyến đổi biến (a,b,c)->(x,y,z) là y nhau

Lời giải:

Xét mẫu thức:

$2xy^2+2yz^2+2zx^2+3xyz=(xy^2+yz^2+zx^2)+(xy^2+xyz)+(yz^2+xyz)+(xz^2+xyz)$

$=xy^2+yz^2+zx^2+xy(y+z)+yz(z+x)+xz(x+y)$

$=xy^2+yz^2+zx^2-(x^2y+y^2z+z^2x)$

$=(x-y)(y-z)(z-x)$

$\Rightarrow (2xy^2+2yz^2+2zx^2)^2=(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2$

Xét tử thức:

$(xy+2z^2)(yz+2x^2)(xz+2y^2)$

$=[xy+z^2-z(x+y)][yz+x^2-x(z+y)][xz+y^2-y(x+z)]$

$=(z-x)(z-y)(x-y)(x-z)(y-x)(y-z)=-(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2$

Do đó: $A=-1$

Xét nào:)

Từ giả thiết suy ra x + y + z > 3

Ta có: \(P=2x^2+xy+2y^2=\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2\)

Suy ra \(\sqrt{2x^2+xy+y^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.\left(x+y\right)=\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế: \(P\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)\ge3\sqrt{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Is it right?!?

thank ban

bạn giải thích rõ hộ mình dòng 2 với