Lời giải:

Đặt biểu thức là $A$

Vế đầu tiên:

Áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có:

\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)

\(\Leftrightarrow abc\geq (a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)\)

\(\Leftrightarrow abc\geq (2-2a)(2-2b)(2-2c)\)

Thực hiên khai triển:

\(abc\geq 8-8(a+b+c)+8(ab+bc+ac)-8abc\)

\(\Leftrightarrow 9abc\geq 8(ab+bc+ac)-8\) \(\Rightarrow 2abc\geq \frac{16}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)

Do đó:

\(A=a^2+b^2+c^2+2abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)

\(\Leftrightarrow A\geq (a+b+c)^2-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)

\(\Leftrightarrow A\geq 4-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}=\frac{20}{9}-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)\)

Mà theo hệ quả của BĐT Am-Gm:

\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow A\geq \frac{20}{9}-\frac{2}{9}.\frac{4}{3}=\frac{52}{27}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Vế sau:

Ta có: \(A<2\Leftrightarrow 2A<4\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+4abc<4\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+4abc< 2(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+8abc<2(ab+bc+ac)(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+2abc< ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\)

\(\Leftrightarrow a(ab+ac-a^2-bc)+b(ab+bc-b^2-ac)+c^2(b+c-a)>0\)

\(\Leftrightarrow a(a-c)(b-a)+b(b-c)(a-b)+c^2(a+b-c)>0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(b-a)(a+b-c)+c^2(a+b-c)>0\)

\(\Leftrightarrow (a+b-c)[(c^2-(a-b)^2]>0\)

BĐT trên luôn đúng do với $a,b,c$ là ba cạnh tam giác thì \(a+b>c\) và \(c>|a-b|\)

Do đó ta có đpcm.

Ta có:

\(a< b+c\)

\(\Leftrightarrow2a< a+b+c=2\)

\(\Leftrightarrow a< 1\)

Tương tự ta cũng có:

\(\hept{\begin{cases}b< 1\\c< 1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-abc+ab+bc+ca-a-b-c+1>0\)

\(\Leftrightarrow abc< \left(ab+bc+ca\right)-1\)

\(\Leftrightarrow2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2+2=4-2=2\)

Từ gt suy ra a < b + c nên 2a < a + b + c = 2

\(\Rightarrow a< 1\).

Chứng minh tương tự: \(b< 1;c< 1\).

Do đó \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\Leftrightarrow abc< ab+bc+ca-1\) (Do a + b + c = 2)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca-1\right)=\left(a+b+c\right)^2-2=2\) (đpcm).

\(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)

\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}\)

\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}\) (đpcm)

a² = b² + c² - 2bc.cosA

b² = a² + c² - 2ac.cosB

c² = a² + b² - 2ab.cosC

⇒ a² + b² + c² = 2bc.cosA + 2ac.cosB + 2ab.cosC

⇒ VT =  \(\dfrac{2bc.cosA}{2abc}+\dfrac{2ab.cosC}{2abc}+\dfrac{2ac.cosB}{2abc}\)

⇒ VT = \(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)

a^2+b^2+c^2+2ab+2cb+2ac-a^2-b^2-c^2-2abc>2

2ab+2ca+bc-2abc>2

sao lại từ phần cần chứng minh nhân ra vậy.

Mà bạn làm mình ko hiểu

a, b, c là độ dài 3 cạnh của tgiác nên ta có: b+c > a => ab+ac > a² 
tương tự: bc+ab > b²; ca+bc > c² 
cộng lại: 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² (*) 

gthiết: 4 = (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² + a²+b²+c² {ad (*)} 
=> 2 > a²+b²+c² (đpcm) 

đúng nha