Ôn tập chương Hình trụ, Hình nón, Hình cầu

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Cho tam giác ABC có 2 cạnh là a, b, c có chu vi bằng 2.

CMR : \(\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)

Akai Haruma
30 tháng 8 2017 lúc 11:27

Lời giải:

Đặt biểu thức là $A$

Vế đầu tiên:

Áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có:

\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)

\(\Leftrightarrow abc\geq (a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)\)

\(\Leftrightarrow abc\geq (2-2a)(2-2b)(2-2c)\)

Thực hiên khai triển:

\(abc\geq 8-8(a+b+c)+8(ab+bc+ac)-8abc\)

\(\Leftrightarrow 9abc\geq 8(ab+bc+ac)-8\) \(\Rightarrow 2abc\geq \frac{16}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)

Do đó:

\(A=a^2+b^2+c^2+2abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)

\(\Leftrightarrow A\geq (a+b+c)^2-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)

\(\Leftrightarrow A\geq 4-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}=\frac{20}{9}-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)\)

Mà theo hệ quả của BĐT Am-Gm:

\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow A\geq \frac{20}{9}-\frac{2}{9}.\frac{4}{3}=\frac{52}{27}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Vế sau:

Ta có: \(A<2\Leftrightarrow 2A<4\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+4abc<4\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+4abc< 2(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+8abc<2(ab+bc+ac)(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+2abc< ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\)

\(\Leftrightarrow a(ab+ac-a^2-bc)+b(ab+bc-b^2-ac)+c^2(b+c-a)>0\)

\(\Leftrightarrow a(a-c)(b-a)+b(b-c)(a-b)+c^2(a+b-c)>0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(b-a)(a+b-c)+c^2(a+b-c)>0\)

\(\Leftrightarrow (a+b-c)[(c^2-(a-b)^2]>0\)

BĐT trên luôn đúng do với $a,b,c$ là ba cạnh tam giác thì \(a+b>c\)\(c>|a-b|\)

Do đó ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Anh Minh
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Hữu Tuyên
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Dương
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Ngô Hoài Thanh
Xem chi tiết
Trương Nguyệt Băng Băng
Xem chi tiết
Hứa Nữ Nhâm Ngọc
Xem chi tiết
Châu Trần
Xem chi tiết