Question

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương.Tìm GTNN của biểu thức :

\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{b+a}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{b+a}{c}\)

Bài 2: Cho các số thực x,y thỏa mãn \(0\le x\le3\)và x+y=11. Tìm GTLN của P=xy

(chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy)

Answer 1

Câu 1:

Ta có: Áp dụng BĐT phụ \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)

=> \(2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\)

=> \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge4,5\) (*)

và BĐT Cau -chy ta có:

\(P+3=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{a+c}+\dfrac{a+b+c}{a+b}\)

\(+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)

<=> \(P+3\ge\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)

\(+2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}+2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}\)

<=> \(P+3\ge4,5+6=10,5\) ( Theo (*)) => \(P\ge7,5\)

=> Dấu = xảy ra <=> a = b = c

Answer 2

từ $x\le 3$ suy ra $x=3$ là điểm rơi

suy ra $y=8$ suy ra $P_{max}= 3*8=24$