Question

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện:

a+b+c+ab+bc+ca = 6

Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a^3}{b}\)+\(\dfrac{b^3}{c}\)+\(\dfrac{c^3}{a}\)\(\ge\)\(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)\(\ge\) 3

Answer 1

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)=12\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\\\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\\\dfrac{c^3}{a}+ca\ge2c^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-ab-bc-ca\ge a^2+b^2+c^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\RightarrowĐPCM\)