Question

Cho a,b,c là các số thực dương.

CMR \(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)\left(1+bc^2\right)\left(1+ca^2\right)\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta được:

\(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+b^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)^3\)

\(\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)\left(1+c^3\right)\ge\left(1+bc^2\right)^3\)

\(\left(1+c^3\right)\left(1+a^3\right)\left(1+a^3\right)\ge\left(1+ca^2\right)^3\)

Nhân từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:

\(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)\left(1+bc^2\right)\left(1+ca^2\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)