Đề 3
Câu 1
a) Tính \(2\sqrt{9}+3\sqrt{16}\)
b) Giải phương trình 3x-15=0
c) Giải bất phương trình: \(x^2+\left(x-1\right)\left(3-x\right)>0\)
Câu 2
Cho pt: \(x^2+4\left(m-1\right)x-m^2-8=0\left(1\right)\)
a) Giải pt (1) khi m=2
b) Gọi \(x_1:x_2\)là 2 nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q=x_1+x_2+x_1\times x_2\)
Câu 3 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M bất kỳ thuộc cạnh AC (M không trùng A;C) Đường thẳng qua C vuông góc với đường thẳng BM tại H, CH cắt tia BA tại I. Gọi K là giao điểm của IM và BC. CM
a) Tứ giác BKHI nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh 2 đoạn thẳng BM và CI = nhau
c) CMR khi M chuyển động trên đoạn AC( M không trùng A và C) thì điểm H luôn chạy trên 1 cung tròn cố định
Câu 1:
a/ Ta có: \(2\sqrt{9}+3\sqrt{16}=2.3+3.4=18\)
b/ Phương trình:
3x-15=0
\(\Leftrightarrow3x=15\)
\(\Leftrightarrow x=5\)
Vậy phương trình có S=\(\left\{5\right\}\)
c/ \(x^2+\left(x-1\right)\left(3-x\right)>0\)
\(\Rightarrow x^2+3x-x^2-3+x>0\)
\(\Rightarrow4x-3>0\)
\(\Rightarrow x>\dfrac{3}{4}\)
Câu 2 vs câu 3 đợi mik chút...mik có vc bận
Câu 2:
a/ Thay m=2 vào phương trình (1) ta đươc;
\(x^2+4\left(2-1\right)x-2^2-8=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x-12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+6x\right)-\left(2x+12\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+6\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+6=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-6\\x=2\end{matrix}\right.\)
Vậy khi m=2 thì phương trình (1) có S=\(\left\{-6;2\right\}\)
b/ Xét phương trình (1) có \(\Delta=16\left(m-1\right)^2-4.1.\left(-m^2-8\right)\)
= \(20m^2-32m+48\)
= \(20m^2-32m+\dfrac{64}{5}+\dfrac{176}{5}\)
= \(\left(\sqrt{20}m-\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\right)^2+\dfrac{176}{5}\)
Ta luôn có: \(\left(\sqrt{20}m-\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\right)^2\)\(\ge0\) với \(\forall m\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{20}m-\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\right)^2+\dfrac{176}{5}>0với\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Xét phương trình (1), áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4\left(m-1\right)\\x_1.x_2=-m^2-8\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài ta có:
\(Q=x_1+x_2+x_1.x_2\)
=\(-4\left(m-1\right)-m^2-8\)
= \(-m^2-4m-4\)
=- \(\left(m+2\right)^2\)
Ta luôn có: \(-\left(m+2\right)^2\le0với\forall m\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow-\left(m+2\right)^2=0\Leftrightarrow m+2=0\Leftrightarrow m=-2\)
Vậy GTLN của \(Q=x_1+x_2+x_1.x_2\) là 0 khi m=-2
