Ta có: \(S=\dfrac{1}{2+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\)

\(=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}}-\dfrac{1}{10}\)

\(=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}\)

B = - 1 - 2 + 3 + 4 +...+ - 97 - 98 + 99 + 100

B = ( - 1 - 2 + 3 + 4)+ ( - 5 - 6 + 7 + 8) + ...+ ( -97 - 98 + 99 + 100)

Xét dãy số: 4; 8; ...;100

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:

(100 - 4): 4 + 1 = 25

Tổng A là tổng của 25 nhóm mà mỗi nhóm có giá trị là: 

- 2 - 3 + 4 + 5 = 4 

A = 4 \(\times\) 25 = 100

=4+...+4

=100

A = 1 + 2 - 3 - 4 +...+ 97 + 98 - 99 - 100

A = ( 1 + 2 - 3 - 4)+ ( 5 + 6 - 7 - 8)+...+ ( 97 + 98 - 99 - 100)

Xét dãy số: 1; 5;..; 97

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 5 - 1 = 4

Số số hạng của dãy số trên là: (97 - 1): 4 + 1 = 25 (số)

Vậy tổng A là tổng của 25 nhóm mà mỗi nhóm có giá trị là: 

1 + 2 - 3 - 4 = - 4

A = - 4 \(\times\) 25 = -100

đặt A= 1+2+2^2+2^3+...+2^99+2^100

=>2A=2+2²+2³+...+2¹⁰⁰+2¹⁰¹

=>2A-A=2+2²+2³+...+2¹⁰⁰+2¹⁰¹-(1+2+2²+2³+...+2⁹⁹+2¹⁰⁰)

=> A=2+2²+2³+...+2¹⁰⁰+2¹⁰¹-1-2-2²-2³-...-2⁹⁹-2¹⁰⁰

=2¹⁰¹-1

vậy 1+2+2^2+2^3+...+2^99+2^100=2¹⁰¹-1

Tính A với:A=1+2+2²+2³+...+2⁹⁹+2¹⁰⁰

=>2A=2+2²+2³+2⁴+...+2¹⁰⁰+2¹⁰¹

=>2A-A=(2+2²+2³+2⁴+...+2¹⁰⁰+2¹⁰¹) - (1+2+2²+2³+...+2⁹⁹+2¹⁰⁰)

A=2¹⁰¹-1

Vậy A=2¹⁰¹-1

\(^{2^2^2^2^2}\)

a, 1-2+3-4+...+99-100

= (1-2)+(3-4)+...+(99-100)

= -1 + (-1) +...+ (-1)

= -1 x 50

= -50

b, 1+2-3-4+5+6-...+97+98-99-100

= (1+2-3-4) + (5+6-7-8) + ... + (97+98-99-100)

= -4 +( -4) + .... + (-4)

= -4 x 25

= -100

A =  1 - 2 + 3 -  4 + 5 - 6 + 7 - 8 +....+ 99 - 100

A = (1 - 2) + ( 3- 4) + ....+ (99 - 100)

Xét dãy số 1; 3;...; 99 

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:  3 - 1 = 2

Số số hạng của dãy số trên là: ( 99 - 1): 2 + 1 = 50

A là tổng của 50 nhóm mỗi nhóm cóa giá tri là: 1 - 2 = - 1

A = - 1 \(\times\) 50 = - 50 

B = 1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8 +...+ 97 - 98 - 99 + 100 

B = ( 1 - 2 - 3 + 4) + ( 5 - 6 - 7 + 8) +...+ ( 97 - 98 - 99 + 100)

B = 0 + 0 +...+ 0

B = 0

Ta thấy tổng trên là dãy số cách đều từ 1 đến 100 có khoảng cách là 1 đơn vị.Số số hạng của dãy số trên là: (100-1):1+1=100(số hạng).Giá trị của dãy số hay tổng trên là:(100+1)nhan 100:2=5050

        \(1+2+3+..+99+100\)

\(=\left(1+100\right)+\left(2+99\right)+\left(3+98\right)+...+\left(50+51\right)\)

                                          (có 50 số số hạng)

\(=101+101+...+101\)

                (có 50 số 101)

\(=101\times50\)

\(=50500\)

1 + 2 + 3 .....99 + 100 = D

Tổng D có số các số hạng là : ( 100 - 1 ) : 1 + 1 = 100 ( số hạng )

=> D = ( 100 + 1 ) x 100 : 2 = 5050