Chứng Minh bất đẳng thứcVới a,b,c>0
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}>=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Đề phải cho x,y,z ; a,b,c >0 chứ bạn ơi
Xét A = (a^2/x + b^2/y + c^2/z) . (x+y+z) = [(a/\(\sqrt{x}\))^2+(b/\(\sqrt{y}\))^2+(c/\(\sqrt{z}\))^2 . (\(\sqrt{x}\)2 + \(\sqrt{y}\)2 + \(\sqrt{z}\)2)
Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có :
A >= (a/\(\sqrt{x}\).\(\sqrt{x}\)+b/\(\sqrt{y}\).\(\sqrt{y}\)+c/\(\sqrt{z}\).\(\sqrt{z}\))^2 = (a+b+c)^2
=> a^2/x + b^2/y + c^2/z >= (a+b+c)^2/x+y+z
=> ĐPCM
k mk nha
Nhầm chỗ \(\sqrt{z}\)2 nha . đó là \(\sqrt{z}\)2
k mk nha
Chứng minh giúp mình mấy câu bất đẳng thức này nha
a) \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\left(a,b>0\right)\)
b) \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^8\ge64ab\left(a+b\right)^2\left(a,b>0\right)\)
c) \(y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{y}\left(x+z\right)\le\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\left(x+z\right)\left(0< x\le y\le z\right)\)
d) \(a+b+c\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a,b,c>0;a+b+c=abc\right)\)
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức:
a) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)
b) \(2a^2+2b^2+8\ge2ab+4\left(a+b\right)\)
Bài 2: Cho 3 số dương x,y,z. Chứng minh: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\)
Bài 3: Cho 3 số dương a,b,c có tổng =1. cminh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Bài 4: Cho \(x,y,z\ge0\)
Chứng minh: \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)
a/ có \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+a+\frac{1}{4}+b^2+b+\frac{1}{4}+c^2+c+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b/ \(2a^2+2b^2+8-2ab+4\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+4a+4+b^2+4b+4+a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(a+b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
bài 2 áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)
bài 3: giả sử \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)cmtt \(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đăng thức trên ta đc
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
bái 4: áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng cái, nhân vế theo vế là đc nhé bn
a) Cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
Chứng minh rằng: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
b) Cho a, b, c khác nhau đôi một. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)
\(\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)
yz + xz + xy = 0
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=x^2+y^2+z^2+2\times\left(xy+xz+yz\right)=x^2+y^2+z^2+2\times0=x^2+y^2+z^2\left(\text{đ}pcm\right)\)
a) Từ giả thiết suy ra: xy + yz + zx = 0
Do đó:
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\)
b) Đặt \(\frac{1}{a-b}=x\); \(\frac{1}{b-c}=y\); \(\frac{1}{c-a}=z\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a-b+b-c+c-a=0\)
Theo câu a ta có: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
Suy ra điều phải chứng minh
a)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz=0\)
\(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
Do \(xy+yz+xz=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2\) ( đpcm )
b)
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2\)
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=0\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{1}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{1}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(c-a\right)^2\left(b-c\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\left(b-c\right)^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}=0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left[\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)\right]}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}=0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left[\left(-a+a\right)+\left(-b+b\right)+\left(-c+c\right)\right]}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}=0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right).0}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}=0\)
\(\Rightarrow0=0\) ( đpcm )
Cho a,b,c>0 chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
b) Cho x,y,z>0 tm x+y+z=1. Tìm GTLN của bt \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
Mấy cái dấu "=" anh tự xét.
Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\)
a) Áp dụng: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
b) \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}\)
Cho x,y,z,a,b,c khác 0 và \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\). Chứng minh rằng :
a) \(\frac{a^2}{x}=\frac{b^2}{y}=\frac{c^2}{x}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
b) \(\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
Mình cần gấp !
a) Chứng minh với mọi số thực a,b,c a cs \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
Chúc bạn học tốt ~
1.Cho tam giác ABC. Chứng minh:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
2. Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất :
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
1) \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
BĐT cần cm trở thành:
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\ge3\)
Theo AM-GM, VT>=6/2=3
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
2)\(x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x^2\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)
=>\(P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{x}=a\\y\sqrt{y}=b\\z\sqrt{z}=c\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1\)
=>\(P\ge\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}\ge2.1=2\)
(Dùng Cauchy-Schwartz chứng minh được:
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge1\))
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 <=> x=y=z=1
Vậy minP=2<=>x=y=z=1
bài 1:chứng minh rằng:
\(\frac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}\)
bài 2:cho m+n=1;m*n khác 0 chứng minh:
\(\frac{m}{n^3-1}+\frac{n}{m^3-1}=\frac{2\left(m-n-2\right)}{m^2\cdot n^2+3}\)
bài 3 cho a,b,c thỏa a*b*c=2013 chứng minh:
\(\frac{2013a}{ab+2013a+2013}+\frac{b}{bc+b+2013}+\frac{c}{ac+c+1}=1\)
bài 4:Tìm A,B,C để
\(\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}\)
mình đag cần gấp giải giúp mình nha!
THANK YOU ❤❤>_<
mik đag cần gấp các bn giải nhanh dùm mik nha