Cho hình chóp SABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a tâm O, SAB là tam giác đều có trọng tâm G và nằm trên mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a.
A. a 12 12
B. a 2
C. a 2 2
D. a 21 6
Đáp án D
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, d là đường thẳng qua O và song song SH thì d ⊥ (ABCD) hay d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
Trong mặt phẳng (SAB) từ G kẻ đường thẳng vuông góc với (SAB) cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD.
A. 7 21 54 π a 3
B. 7 21 162 π a 3
C. 7 21 216 π a 3
D. 49 21 36 π a 3
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra A H ⊥ A B C D .
Gọi G là trọng tâm tam giác ∆SAB và O là tâm hình vuông ABCD.
Từ G kẻ GI//HO suy ra GI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆SAB và từ O kẻ OI//SH thì OI là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Ta có hai đường này cùng nằm trong mặt phẳng và cắt nhau tại I.
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
R = S I = S G 2 + G I 2 = a 21 6 .
Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là V = 4 3 π R 3 = 7 21 54 π a 3
Đáp án A
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB=a,AD=2a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
A. R = 3 a 2 2
B. R = 2 a 2 3
C. R = 2 a 3 3
D. R = 3 a 3 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi T là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD. Hỏi góc giữa hai đường thẳng TB và BD nằm trong khoảng nào dưới đây
Chọn đáp án A
+ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Qua O ta dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.
+ Gọi E, K, F, H, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SD, SC, BC, AD, EK
+ Ta có tam giác SDF là tam giác cân tại F. Vì FD = FS = a 5 (độc giả tự chứng minh)
Suy ra FE ⊥ SD
Mặt khác, ta có KE // FH (Vì cùng song song với CD). Nên 4 điểm K, E, F, H đồng phẳng
+ Trong mặt phẳng (KEFH), gọi T là giao điểm của FE và ON.
Ta có T là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD
+ Ta có tam giác EKO là tam giác đều cạnh a. Nên
Bán kính mặt cầu là
+ Xét tam giác vuông TOB vuông tại B, ta có
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh 2a, mặt bên SAB là tam giác cân nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, AS B = 120 ° . Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp.
A. 2 a 2
B. 21 3 a
C. a 2
D. Kết quả khác
Đáp án B.
Gọi O là tâm của hính vuông ABCD và H là tâm của đường tròn ngoại tiếp Δ S A B . Từ O kẻ đường thẳng d vuông góc với (ABCD). Từ H kẻ đường thẳng H vuông góc với (SAB).
Ta có d ∩ Δ = I ⇒ I A = I B = I C = IS ⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S . A B C D ⇒ R = I A = O I 2 + O A 2 .
Mà O I = H M = H B 2 − M B 2 với M là trung điểm của AB.
Xét Δ S A B cân tại S, có A B sin A S B ^ = 2 r
⇒ H B = r = 2 a 2. sin 120 0 = 2 a 3 .
Khi đó O I = 2 a 3 2 − a 2 = a 3 ⇒ R = a 3 2 + a 2 2 = a 21 3 .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh 2a, mặt bên SAB là tam giác cân nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, A S B = 120 O Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp.
A. 2 a 2
B. 21 a 3
C. a 2
D. Kết quả khác
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AD,DC Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DMN.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AD,DC. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DMN.