\(pt\Leftrightarrow x^2-x+2x-2+2y^2-2xy^2+y-xy=1\\ \Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(2y^2+y-x-2\right)=1\)

e tự xét 2 th ra

\(x^2+x+xy-2y^2-y=5\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x+2xy-4y^2-2y=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+2y+1\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)\)\(-4y^2=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+1\right)^2+\left(x+y\right)^2-4y^2=10\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+1\right)^2-4y^2\right]+\left[\left(x+y\right)^2-\left(y+1\right)^2\right]=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-2y+1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2y+1\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-2y+1+x-1\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(2x-2y\right)=10\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5\)

Vì \(x,y>0\left(x,y\inℤ\right)\Rightarrow x+2y+1\inℤ^+\)

Mà \(\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5\)

Do đó \(\left(x-y\right)\inℤ^+\)

Vì \(x+2y+1\ge x-y>0\)(vì \(x;y\in Z^+\))

\(\Rightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5.1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y+1=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y+1=5\\x=y+1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+1+2y+1=5\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y+2=5\\x=y+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y=3\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=2\end{cases}}\)(thỏa mãn \(x,y\inℤ^+\))

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)

Lưu ý : tớ ghi \(ℤ^+\)là chỉ số nguyên dương, ghi vào vở bạn nên ghi là "số nguyen dương" thôi.

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2-xy-x^2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(xy+1\right)\)

VT là 1 số chính phương mà vế phải là tích 2 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}xy=0\\xy+1=0\end{matrix}\right.\)

+ Với \(xy=0\Rightarrow\left(x+y\right)^2=x^2+y^2=0\Rightarrow x=y=0\)

+ Với \(xy+1=0\Rightarrow xy=-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1;y=-1\\x=-1;y=1\end{matrix}\right.\)

\(x^2+xy+y^2=x^2y^2\)

\(x^2+2xy+y^2=x^2y^2+xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(xy+1\right)\)

Do \(xy\left(xy+1\right)\) là 2 số nguyên liên tiếp mà tích của chúng là một số chỉnh phương nên 1 trong 2 số phải bằng 0

Từ đây suy ra nghiệm x=y=0 hoặc x=1;y=-1 hoặc x=-1;y=1

À uhm , tớ viết thiếu : xy = -1 chứ ko phải 1 nhé , Còn cách thì có nhiều , góp cho bạn 2 cách nữa : 

C1 , \(pt\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2=\left(2xy+1\right)^2-1\) (Tại sao thì ráng hiểu :V)

\(\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2-\left(2xy+1\right)^2=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+2y-2xy-1\right)\left(2x+2y+2xy+1\right)=-1\)

Úm ba la lập bảng là ra

C2,Dùng bđt cho lạ :V

Giả sử |x| < |y|

\(\Rightarrow x^2\le y^2;xy\le y^2\)

Khi đó  \(x^2+xy+y^2\le y^2+y^2+y^2=3y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2\le3y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2\le3\)

\(\Leftrightarrow x^2\in\left\{0;1\right\}\)(Do x nguyên) 

Ngạc nhiên chưa !!! -_-

Góp thêm cách nữa ạ:

                                        Lời giải

Nhân 4 vào mỗi vế

\(4x^2+4xy+4y^2=4x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2+3y^2=4x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2=y^2\left(4x^2-3\right)\)

Nếu y = 0 thì x = 0.Ta có nghiệm (0;0)

Nếu \(y\ne0\) thì \(4x^2-3=k^2\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-k\right)\left(2x+k\right)=3\)

Dễ dàng tìm được \(x=\pm1\).Thay vào tìm được y.

\(x^2+xy+y^2=x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(xy\right)^2+xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(xy+1\right)\)

Vì VT là số chính phương nên VP cũng là scp

Mà xy và xy + 1 là 2 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}xy=0\\xy=1\end{cases}}\)

Làm nốt

chiu roi

ban oi

tk nhe

\(5x^2+x\left(5y-7\right)+5y^2-14y=0\)

\(\Delta=\left(5y-7\right)^2-4.5.\left(5y^2-14y\right)=-75y^2+210y+49\)

Để PT có nghiệm nguyên thì \(\Delta\ge0\)

từ đó tìm được các giá trị nguyên của y, rồi tìm được x

không có phương trình bạn nhé

bạn ơi, xem lại đề ra 1 chút, hình như có câu sai đề thì phải

thầy giải rùi đúng mà

Áp dụng bất đẳng thức x^2+y^2 ≥ 2xy  nên ta có x^2+y^2+xy ≥ 3xy
Mà x^2+y^2+xy=x^2y^2 ≥ 0 nên suy ra x^2y^2+3xy ≤ 0 ⟺−3 ≤ xy ≤ 0
Vì x,y nguyên nên xy nguyên, vậy nên xy∈{−3,−2,−1,0}
Trường hợp xy=−3 ta tìm được các nghiệm (−1,3),(3,−1),(−3,1),(1,−3)
Trường hợp xy=−2 ta tìm được các nghiệm (−1,2),(2,−1),(1,−2),(−2,1)
Trường hợp xy=−1 ta tìm được các nghiệm (−1,1),(1,−1)
Trường hợp xy=0 ta tìm được nghiệm (0,0)
Thử lại thì thấy chỉ có các nghiệm (0,0),(1,−1),(−1,1) thỏa mãn và đó là các nghiệm nguyên cần tìm