bấm vào chữ 0 đúng sẽ ra đáp án 

Áp dụng BĐT sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) 

\(\Rightarrow\frac{1}{2a+b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}\right)\). Lại có \(\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2a+b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}\right)\)

Tương tự: \(\frac{1}{a+2b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{4c}\right);\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{2c}\right)\)

Cộng 3 BĐT trên theo vế, ta được:

\(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Thay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\)\(\Rightarrow\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le1\)(đpcm).

Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{3}{4}.\)

Với mọi x, y > 0 ta luôn có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) 

Đẳng thức xảy ra   \(\Leftrightarrow\)  x = y

Ta có:   \(\frac{2}{2a+b+c}=\frac{1}{2}.\frac{4}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(=\frac{1}{8}\left(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{a+c}\right)\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{8}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)  (1)

Tương tự \(\frac{2}{2b+c+a}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (2)   và    \(\frac{2}{2c+a+b}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\)  (3)

Cộng (1), (2) và (3) ta được: \(A\le\frac{1}{8}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)

Vậy \(A_{max}=\frac{3}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=1\)

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho từng cặp số không âm, ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)  \(\left(1\right)\)

\(b^2+1\ge2b\)  \(\left(2\right)\)

Cộng  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\)  vế theo vế, ta được:

\(a^2+2b^2+1\ge2ab+2b\)

\(\Rightarrow\)  \(a^2+2b^2+3\ge2ab+2b+2\)  

Vì hai vế của bất đẳng thức trên cùng dấu (do  \(a,b,c>0\)) nên ta nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức:

\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}\)  \(\left(1\right)\)

Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị  \(b\)  \(\rightarrow\)  \(c\)  \(\rightarrow\)  \(a\)  \(\rightarrow\)  \(b\), ta có:

\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\ge\frac{1}{2bc+2c+2}\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\ge\frac{1}{2ca+2a+2}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\), ta được:

\(VT\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ca+2a+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)  \(\left(\text{*}\right)\)  

Mặt khác, xét từng phân thức  \(\frac{1}{ab+b+1};\frac{1}{bc+c+1};\frac{1}{ca+a+1}\)  kết hợp với giả thiết đã cho, nghĩa là  \(abc=1,\)  ta có:

\(\frac{1}{ab+b+1};\)  \(\frac{1}{bc+c+1}=\frac{abc}{bc+c+abc}=\frac{ab}{ab+b+1}\)  và  \(\frac{1}{ca+a+1}=\frac{abc}{ca+a+abc}=\frac{bc}{bc+c+1}=\frac{bc}{bc+c+abc}=\frac{b}{ab+b+1}\)

Do đó,  \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1\)  \(\left(\text{**}\right)\)

Từ  \(\left(\text{*}\right)\)  và  \(\left(\text{**}\right)\)  suy ra  \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c\)

t.i.c.k mik mik t.i.c.k lại

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{4}{2a+b+c}=\frac{4}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\frac{4}{2b+c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)\(;\frac{4}{2c+a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\frac{1}{4}\left(4a+4b+4c\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

moi nguoi oi hom truoc minh hoc tap hop cac so TN do thi co cua minh day nhu sau 

vd: A={xeN/3<x<9}

thi minh liet ke ra la A=4,5,6,7,8 nhung sua bai lai ko dung 

co sua nhu vay A=3,4,5,6,7,8

ko biet hay sai mong ae giup minh

Áp dụng BĐT Cô-si \(ab\le\frac{\left(a+b\right)}{4}^2\)

=> \(\left(2a+b\right)\left(2c+b\right)\le\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{4}=\left(a+b+c\right)^2\)

=> \(\frac{1}{\left(2a+b\right)\left(2c+b\right)}\ge\frac{1}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Mấy cái kia làm tương tự cậu nhé 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1