Ta sẽ dùng phản chứng 

Gọi 4 cạnh của tứ giác là a , b , c , d ( a,b,c,d \(\inℕ^∗\))

Giả sử không có bất kì 2 cạnh nào bằng nhau

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{b+c+d}{a}\\y=\frac{c+d+a}{b}\\z=\frac{d+a+b}{c}\end{cases}}\left(x;y;z\inℕ^∗\right)\)(Do tổng 3 cạnh bất kì chia hết cho cạnh còn lại)

Theo bất đẳng thức trong tứ giác  thì dễ thấy \(x;y;z>1\)

Mà x,y,z là số tự nhiên nên \(x;y;z\ge2\)

Không mất tính tổng quát của bài toán ta giả sử a > b > c > d thì khi đó x < y < z

Ta có : \(\hept{\begin{cases}x\ge2\\y>x\end{cases}}\Rightarrow y\ge3\)

tương tự : \(z\ge4\)

Từ điều giả sử\(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}b+c+d\ge2a\\c+d+a\ge3b\\d+a+b\ge4c\end{cases}}\)

Cộng 3 vế vào ta được \(2a+2b+2c+3d\ge2a+3b+4c\)

                               \(\Rightarrow3d\ge b+2c\)(Vô lí do b > c > d)

Nên điều giả sử là sai 

Vậy luôn tồn tại ít nhất 2 cạnh bằng nhau trong tứ giác đó

Gọi độ dài cạnh còn lại là a(Điều kiện: \(a\in Z^+\))

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: \(4-1< a< 4+1\)

\(\Leftrightarrow3< a< 5\)

hay a=4

Vậy: Độ dài cạnh còn lại là 4cm

4-1>a>1+4 => 3>a>5 => a= 4. Vậy độ dài còn lại của cạnh bằng 4

9

Gọi cạnh còn lại là a

Áp dụng BĐT tam giác, ta có

34+26=60(cm)>a 

34-26=8(cm)<a    

=>8<a<60=>a thuộc {9;10;11;...;57;58;59}

Từ 9 đến 59 có: (59-9):1+1=51(số)

Hay có 51 tam giác thoả mãn yêu cầu của bài toán

Gọi a là cạnh còn lại của tam giác (cm) 

Ta có:. 34-26<a<34+26

=>8<a<60

=> a€{9;10;11;...58;59}

=>Số tấm giác thoả mãn là (59-9)+1=51 (tâm giác ) 

Vậy

Với a=252dm thì a:3=252:3=84dm

Hay độ dài cạnh còn lại của hình tứ giác là 84dm.

Chu vi hình tứ giác đó là:

252+84=336(dm)

336dm=3360cm

                                 Đáp số: 3360cm.

Vậy đáp án đúng điền vào ô trống là 3360.