Lời giải:

Theo tính chất tia phân giác: 

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}(1)$

$BC=BD+CD=75+100=175$

Theo định lý Pitago:

$AB^2+AC^2=BC^2=175^2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow AB=105; AC=140$ (cm) 

$BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{105^2}{175}=63$ (cm) - theo hệ thức lượng trong tam giác vuông

$CH=BC-BH=175-63=112$ (cm)

$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{105^2-63^2}=84$ (cm)

$HD=BD-BH=75-63=12$ (cm) 

$AD=\sqrt{AH^2+DH^2}=\sqrt{84^2+12^2}=60\sqrt{2}$ (cm)

Hình vẽ:

\(\frac{HC}{HB}=\frac{9}{4}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{HC}{9}=\frac{HB}{4}=k\)\(\Rightarrow\)\(HC=9k;\)\(HB=4k\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(AH^2=HB.HC\)\(\Rightarrow\)\(AH^2=36k^2\)\(\Rightarrow\)\(AH=6k\)

Xét \(\Delta AHB\)và  \(\Delta CHA\)có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^0\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\)  (cùng phụ với HAC)

suy ra:  \(\Delta AHB~\Delta CHA\)(g.g)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AB}{AC}=\frac{HB}{HA}=\frac{4k}{6k}=\frac{2}{3}\)

AD là phân giác tam giác ABC

=>  \(\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{2}\)

Xét ΔABC có 

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{9}{16}\)

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{9}{16}HC\)

Ta có: \(HB+HC=BC\)

\(\Leftrightarrow HC\cdot\dfrac{25}{16}=35\)

\(\Leftrightarrow HC=22.4\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow HB=12.6\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{6}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{25}{36}\)

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{25}{36}HC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HC^2\cdot\dfrac{25}{36}=30^2=900\)

\(\Leftrightarrow HC^2=1296\)

\(\Leftrightarrow HC=36\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow HB=25\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow BC=36+25=61\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=5\sqrt{61}\left(cm\right)\\AC=6\sqrt{61}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

có:  HC . HB = AH² = 576  trong tam giác vuông đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (1)

mà HC - HB = 14  => HC = 14 + HB

thay vào (1): HC . HB = (14 + HB) . HB = HB² + 14HB  = 576  

=> HB² + 14HB - 576 = 0  => (HB - 18) (HB + 32) = 0    => HB = 18 cm

=> HC = 14 + 18 = 32 cm    => BC = 18 + 32 = 50

=> AB² = BH . BC = 18 . 50 = 900    => AB = 30  cm

=> AC² = CH . BC = 32 . 50 = 1600  => AC = 40 cm

Có: BD/DC = AB/AC  => BD/AB = DC/AC  và BD + DC = 50

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau đc:

\(\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{BD+CD}{AB+AC}=\frac{50}{70}=\frac{5}{7}\)

=> CD = 50 - 150/7 = 200/7 cm

=> HD = 50 - CD  - BH = 50 - 200/7 - 18 = 24/7 cm

xét tam giác vuông ADH: 

AD² = AH² + DH² = 24² + (24/7)² 

Ta có: HB.HC=AH^2=24^2=576. 
Biết được tích HB.HC là 576, hiệu HC-HB là 14(theo đầu bài)thì tính được BC=HB+HC 
(HC+HB)^2=(HC-HB)^2+4.HC.HB (cái này bạn khai triển ra là thấy)=14^2+4.576 =2500 
=> HC+HB=căn(2500)=50=>BC=50=>BD+DC=50( vì BD+DC=BC) 
HC+HB=50 mà HC-HB=14=> HC=32 và HB=18( tính hai số biết tổng và hiệu) 
Biết được tổng BD+DC, để tính được BD, ta đi tính tỉ số BD/DC: 
BD/DC=AB/AC ( vì AD là phân giác của tam giác ABC)=>BD=150/7 
=>HD=BD-HB=150/7-18=24/7. 
Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông AHD ta có: 
AD^2=AH^2+HD^2=24^2+(24/7)^2=28800/49 
=>AD=căn(28800/49) sấp sỉ 24,244. 
 

Mình không vẽ hình ra, bạn tự nhìn hình của bạn nhé.

Trong sgk lớp 9, tập một, phần hình học ở bài 1 có mấy cái định lý, bạn chú ý vào định lý 2: Trong một tam giác vuông, bình phương của đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. Trong bài này, đường cao là AH, hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là HB và HC nên ta có: HB.HC=AH^2=24^2=576.

Biết được tích HB.HC là 576, hiệu HC-HB là 14(theo đầu bài)thì tính được BC=HB+HC
(HC+HB)^2=(HC-HB)^2+4.HC.HB (cái này bạn khai triển ra là thấy)=14^2+4.576 =2500
=> HC+HB=căn(2500)=50=>BC=50=>BD+DC=50( vì BD+DC=BC)
HC+HB=50 mà HC-HB=14=> HC=32 và HB=18( tính hai số biết tổng và hiệu)

Biết được tổng BD+DC, để tính được BD, ta đi tính tỉ số BD/DC:
BD/DC=AB/AC ( vì AD là phân giác của tam giác ABC)=>BD=150/7
=>HD=BD-HB=150/7-18=24/7.
Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông AHD ta có:
AD^2=AH^2+HD^2=24^2+(24/7)^2=28800/49
=>AD=căn(28800/49) sấp sỉ 24,244.
Đáp số: AD sấp sỉ 24,244
BD=150/7

b: Ta có: \(\widehat{ADC}+\widehat{HAD}=90^0\)

\(\widehat{CAD}+\widehat{DAB}=90^0\)

mà \(\widehat{HAD}=\widehat{DAB}\)

nên \(\widehat{ADC}=\widehat{CAD}\)

Xét ΔADC có \(\widehat{ADC}=\widehat{CAD}\)

nên ΔADC cân tại C

Ta có \(BC=BD+CD=35\left(cm\right)\)

Vì AD là p/g nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}CD\)

Áp dụng PTG: \(BC^2=1225=AB^2+AC^2=\dfrac{9}{16}AC^2+AC^2=\dfrac{25}{16}AC^2\)

\(\Rightarrow AC^2=784\Rightarrow AC=28\left(cm\right)\\ \Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}\cdot28=21\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=12,6\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=22,4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

DB/DC=AB/DC

DB+DC=BC

=>DB=5-20=-15 là sai đề rồi bạn

BC>DC là sai đề rồi bạn