Đặt  B = 10ⁿ + 10^n-1 + ...+ 10 + 1

=> 10.B = 10ⁿ⁺¹ + 10ⁿ + ...+ 10² + 10

=> 10B - B = 10ⁿ⁺¹ -1

=> 9B = 10ⁿ⁺¹ - 1

Ta có: 9A = 9B. (10ⁿ⁺¹ + 5) + 9 = (10ⁿ⁺¹ -1).(10ⁿ⁺¹ + 5) + 9

9A = (10ⁿ⁺¹)² + 5.10ⁿ⁺¹ - 10ⁿ⁺¹ - 5 + 9 = (10ⁿ⁺¹)² + 4.10ⁿ⁺¹ + 4

=  (10ⁿ⁺¹ + 2)²

=> A = \(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\)

Vì (10ⁿ⁺¹ + 2 ) chia hết cho 3 nên \(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\) là số chính phương

=> A là số chính phương

Ta có công thức: aⁿ-1=(a-1)(a^n-1+a^n-2+...+a+1)

Từ đó suy ra:

A=\(\frac{10^{n+1}-1}{9}\left(10^{n+1}+5\right)+1\)

Đặt 10ⁿ⁺¹=B => A=\(\frac{\left(B-1\right)}{9}\left(B+5\right)+1\)

=> A=\(\frac{\left(B-1\right)\left(B+5\right)+9}{9}\)

       = \(\frac{B^2+4B+4}{9}\)

       = \(\left(\frac{B+2}{3}\right)^2\)Hay \(\left(\frac{100...02_{\left\{n\right\}}}{3}\right)^2\)

       = 333...34²

Vậy A là số chính phương. (1)

Gỉa sử A=m³, m thuộc N

=> 333...34_{{n số 3}} = m³

=> m³ chia hết cho 2

=> m chia hết cho 2

=>  m³ chia hết cho 8          Hay         (2.1666..67_{{n-1 số 6}} )² chia hết cho 8

=>4.1666..67²_{{n-1 số 6}} chia hết cho 8   

=>1666..67² chia hết cho 2 (Vô Lý)

Vậy A ko thể là lập phương của 1 số tự nhiên.       (2)

Từ (1) và (2) => ĐPCM

Ta có công thức sau: aⁿ - 1 = (a - 1) . (a^n-1 + a^n-2 +. . .+ a + 1)

Từ đây ta được quyền suy ra:

A=\(\frac{10^{n+1}-1}{9}\left(10^{n+1}+5\right)+1\)

Đặt 10ⁿ⁺¹ = B \(\Rightarrow\)A = \(\frac{\left(B-1\right)}{9}\left(B+5\right)+1\)

\(\Rightarrow\)A = \(\frac{\left(B-1\right)\left(B+5\right)+9}{9}\)

            = \(\frac{B^2+4B+4}{9}\)

            = \(\left(\frac{B+2}{3}\right)^2\)Hay \(\left(\frac{100...02_{\left[n\right]}}{3}\right)^2\)

            = 333...34²

Vậy A là số chính phương. (1)

Giả sử A = m³ (m\(\in\)N) = m³

\(\Rightarrow\)333...34{n số 3} = m³

\(\Rightarrow\)m³ chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)m chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)m³ chia hết cho 8 hay (2.1666..67{n - 1 số 6} )^{2 chia hết cho 8}

\(\Rightarrow\)4.1666..67²_{{n - 1 số 6}} chia hết cho 8

\(\Rightarrow\)1666..67² chia hết cho 2 (vô lí)

Vậy A không thể là lập phương của 1 số tự nhiên. (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)Điều phải chứng minh.

Ở câu a ko có chữ " b " nhé

Đặt \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+2n+n+2\right)+1\)

Đặt \(n^2+3=t\)

=> \(A=t\left(t+2\right)+1\)

\(=t^2+2t+1\)

\(=\left(t+1\right)^2\)

=> A là số chính phương

Vậy với mọi số tự nhiên n thì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\) là số chính phương ( đpcm )
 

xem lại câu a nhé bạn

Đề sai! Thử n = 2 là biết!

Bn có sai ko? Hay đề là tìm n để Biểu thức \(⋮\) 2

Ta có: \(\left(3n+5\right)\left(2n-10\right)=2\left(n-5\right)\left(3n+5\right)\) \(⋮\) 2

=> Theo đề bài phải c/m: \(\left(6n+1\right)\left(n+5\right)\) \(⋮\) 2 (*)

Xét n là số lẻ => \(\left(6n+1\right)\left(n+5\right)\) là số chẳn => Biểu thức \(⋮\) 2

Xét n là số chẳn => \(\left(6n+1\right)\left(n+5\right)\) là số lẻ => \(⋮̸\) 2

=> Để (6n+1)(n+5)−(3n+5)(2n−10) \(⋮\) 2 thì n là số lẻ, n\(\in Z\)

phải là 2n-1 ms đúng

Đặt B = \(10^n+10^{n-1}+.........+10+1\)

=> 10B = \(10^{n+1}+10^n+........+10^2+10\)

=> 10B - B = \(10^{n+1}-1\)

Ta có 9A=9B.(\(10^{n+1}+5\)) + 9 = (\(10^{n+1}-1\)).(\(10^{n+1}+5\)) +9

9A = (\(\left(10^{n+1}\right)^2+5.10^{n+1}-10^{n+1}-5+9\) = \(\left(10^{n+1}\right)^2+4.10^{n+1}+4\) = \(\left(10^{n+1}+2\right)^2\)

=> A = \(\left(\dfrac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\)

Vì ( \(10^{n+1}+2\)) chia hết cho 3 nên \(\left(\dfrac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\)là số chính phương

=> A là số chính phương

a) 

Nếu n=0 thì 5ⁿ -1 = 1-1 =0 chia hết cho 4

Nếu n=1 thì 5ⁿ-1=5-1=4 chia hết cho 4

Nếu n lớn hơn hoặc bằng hai thì 5ⁿ -1=(...25)-1=(...24) chia hết cho 4 ( Vì số chia hết cho 4 có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4)

=> (5ⁿ -1) chia hết cho 4

a) \(n\in\)N*

=>n>1

ta có 5 mũ >1 có tận cùng là 25 mà 25-1=24 chia hết cho 4(dấu hiệu chia hết cho 4)

b)ta có 10...0(10 số 0) -1=99...9(9 số 9)

ta có \(999999999⋮3;9\) 

 và    \(18n⋮3;9\)  

=>  \(999999999+18n⋮3\cdot9\)

\(hay\)\(\left(10^{10}+18n-1\right)⋮27\)

Bài 2:

10^n có tổng các chữ số là 1

5^3 có tổng các chữ số là 8

=>10^n+5^3 có tổng các chữ số là 9

=>10^n+5^3 chia hết cho 9

\(A=1+99..9^2+0,99..9^2=1+\left(10^n-1\right)^2+\left(\frac{10^n-1}{10^n}\right)^2\)

\(=\frac{10^{2n}+10^{2n}\left(10^n-1\right)^2+\left(10^n-1\right)^2}{10^{2n}}\)

\(=\frac{10^{4n}-2.10^{2n}.10^n+3.10^{2n}-2.10^n+1}{10^{2n}}\)

\(=\frac{10^{4n}+10^{2n}+1-2.10^{2n}.10^n+2.10^{2n}.1-2.10^n.1}{10^{2n}}\)

\(=\frac{\left(10^{2n}-10^n+1\right)^2}{10^{2n}}\)\(=\left(\frac{10^{2n}-10^n+1}{10^n}\right)^2\)

Thay số vào thấy đề sai