\(\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}\)

\(=\frac{2-\sqrt{3}}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}+\frac{2+\sqrt{3}}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}\)

\(=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}+\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}\)

\(=4\)

d la sai

a) \(\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}-\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\frac{\sqrt{\left(1+\cos x\right)^2}-\sqrt{\left(1-\cos x\right)^2}}{\sqrt{\left(1-\cos x\right)\left(1+\cos x\right)}}\)

\(=\frac{1+\cos x-1+\cos x}{\sqrt{1-\cos^2x}}=\frac{2\cos x}{\sqrt{\sin^2x}}=\frac{2\cos x}{\sin x}=2\cot x\)

b) \(\frac{1}{\tan x+1}+\frac{1}{\cot x+1}=\frac{\tan x+1+\cot x+1}{\left(\tan x+1\right)\left(\cot x+1\right)}\)

\(=\frac{\tan x+\cot x+2}{\tan x+\cot x+\tan x.\cot x+1}=\frac{\tan x+\cot x+2}{\tan x+\cot x+2}=1\)

c) (ko bt có sai đề ko, làm mãi ko ra) 

d) \(\sin^21^0+\sin^22^0+\sin^23^0+...+\sin^289^0\)

\(=\left(\sin^21^0+\sin^289^0\right)+\left(\sin^22^0+\sin^288^0\right)+...+\sin^245^0\)

\(=\left[\left(\sin^21^0-\cos^289^0\right)+\left(\sin^289^0+\cos^289^0\right)\right]+\)

\(\left[\left(\sin^22^0-\cos^288^0\right)+\left(\sin^288^0+\cos^288^0\right)\right]+...+\sin^245^0\)

\(=\left(0+1\right)+\left(0+1\right)+...+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{44+\sqrt{2}}{2}\)

Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sinx + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y(π) = 0 và y' = -3sin x + 2cos x + 6 > 0, x ∈ R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm x = π

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sinx + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y( π ) = 0 và y' = -3sin x + 2cos x + 6 > 0, x  ∈ R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm x =  π

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

a/

\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)+sin2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow1-3sin^2x.cos^2x+sin2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow-\frac{3}{4}sin^22x+sin2x=0\)

\(\Leftrightarrow sin2x\left(1-\frac{3}{4}sin2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin2x=0\\sin2x=\frac{4}{3}>1\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2x=k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}\)

b/

\(\Leftrightarrow\left(1+sin2x\right)+sinx+cosx+cos^2x-sin^2x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)^2+sinx+cosx+\left(sinx+cosx\right)\left(cosx-sinx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(sinx+cosx+1+cosx-sinx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(2cosx+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\\2cosx+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0\\cosx=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

c/

\(\Leftrightarrow\left(sinx-\sqrt{3}cosx\right)\left(sinx+\sqrt{3}\right)cosx=2\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+\sqrt{3}cosx=0\\sinx-\sqrt{3}cosx=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=0\\\frac{1}{2}sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0\\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\frac{\pi}{3}=k\pi\\x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)