\(a)\left(1+m\right)x^2-2mx+2m=0\\ \Delta=\left(2m\right)^2-4\left(1+m\right).2m\\ =4m^2-8m^2-8m\\ =-4m^2-8m\)

Để phương trình có nghiệm \(\Delta\ge0\)

\(-4m^2-8m\ge0\\ \Leftrightarrow-4m\left(m+2\right)\ge0\\ m\left(m+2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\m+2\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m+2\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\m\ge-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m\le-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-2\le m\le0\)

\(b)\left(m-2\right)x^2+2\left(2m-3\right)x+5m-6=0\\ \Delta=\left(2m-3\right)^2-4\left(m-2\right)\left(5m-6\right)\\ =4m^2-12m+9-20m^2+64m-48\\ =-16m^2+52m-39\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(-16m^2+52m-39\ge0\\ \Leftrightarrow m\in\left(\dfrac{13\pm\sqrt{13}}{8}\right)\)

Vậy...

\(c)\left(3-m\right)x^2-2\left(m+3\right)x+m+2=0\\ \Delta=\left[2\left(m+3\right)\right]^2-4\left(3-m\right)\left(m+2\right)\\ =4m^2+24m+36-12m-24+4m^2+8m\\ =8m^2+20m+12\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(8m^2+20m+12\ge0\\ \Leftrightarrow2m^2+5m+3\ge0\\ \Leftrightarrow\left(2m+3\right)\left(m+1\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\in[-1;+\infty)\\m\in(-\infty;-\dfrac{3}{2}]\end{matrix}\right.\)

Bài toán bạn định hỏi, theo tác giả nói, có đúng 3 nghiệm phân biệt. 
Để phương trình \(x^2-2mx-4\left(m^2+1\right)=0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt (vì \(\Delta^'=m^2+4\left(m^2+1\right)=5m^2+4>0.\))

Xét phương trình thứ hai  \(x^2-4x-2m\left(m^2+1\right)=0\). Nếu phương trình này vô nghiệm thì pt đã cho có tối đa 2 nghiệm, mâu thuẫn. Vậy phương trình thứ 2 có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt.

Xét trường hợp phương trình thứ hai có nghiệm kép, tức 
\(4+2m^3+2m=0\to m^3+m+2=0\to\left(m+1\right)\left(m^2-m+2\right)=0\)
Do đó \(m=-1.\)  Thử lại, không thoả mãn vì phương trình đầu có nghiệm x=2.

Nếu phương trình thứ hai có hai nghiệm phân biệt thì hai phương trình phải có nghiệm chung là \(x_0\), do đó 
\(x^2_0-4x_0-2m\left(m^2+1\right)=0\) và \(x_0^2-2mx_0-4\left(m^2+1\right)=0\). Trừ hai phương trình ta được \(\left(2m-4\right)x_0=\left(2m-4\right)\left(m^2+1\right)\). Do đó \(m=2\) hoặc \(x_0=m^2+1.\) Khi \(m=2\) thì hai phương trình trùng nhau nên phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt, loại. Giả sử \(x_0=m^2+1.\)Khi đó \(\left(m^2+1\right)^2-4\left(m^2+1\right)-2m\left(m^2+1\right)=0\to m^2+1-4-2m=0\)
\(m^2-2m-3=0\to m=-1,3.\)

Thử lại ta thấy \(m=-1,3\) đều thoả mãn.

P(1)= 1²+2.m.1+m²

      =1+2m+m²

Q(-1)= (-1)²+(2m+1).(-1) +m²

       =1-2m-1+m²

       = m²-2m

P(1)-Q(-1)= 1+2m+m²-m²+2m=0

              1+4m=0

   =>m=-4

ADCsfasfad

bn ơi sao 1+4m=0 mà m=-4 vậy

\(\Delta'=\left(-m\right)^2-2m^2+1\)

=\(m^2-2m^2+1\)

=\(-m^2+1\) \(\Rightarrow-m^2+1>0\Leftrightarrow m< 1\)

theo vi-et ta có \(x_1+x_2=-2m\)

\(x_1.x_2=2m^2-1\)

theo đề bài ta có \(\left(x_1\right)^3+\left(x_2\right)^3-\left(x_1\right)^2-\left(x_2\right)^2=-2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x_1+x_2\right).\left(x_1^2-x_1.x_2+x_2^2\right)\) = 4

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1.x_2]\) =4

\(\Leftrightarrow-2m.[\left(-2m\right)^2-3.\left(2m^2-1\right)]\)=4

\(\Leftrightarrow-2m.\left(4m^2-6m^2+3\right)\)=4

\(\Leftrightarrow-2m.\left(-2m^2-3\right)\) =4

\(\Leftrightarrow4m^2+6m\) =4

\(\Leftrightarrow4m^2+6m-4=0\)

\(\Delta=6^2-4.4.\left(-4\right)=36+64=100>0\) =>\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{100}=50\)

phương trình có 2 ngiệm \(x_1=\frac{11}{2}\),\(x_2=-7\)

với \(x_2=-7\) thỏa mãn đk

bài này thì mk ko chắc đúng ko từ \(-2m.\left(-2m^2-3\right)\) trở lên là đúng

Gọi \(a=x_1\) và \(b=x_2\) gõ cho lẹ

\(\Delta'=m^2-2m^2+1=1-m^2\ge0\Rightarrow-1\le m\le1\)

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2m\\ab=2m^2-1\end{matrix}\right.\)

\(A=a^3+b^3-\left(a^2+b^2\right)=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2+2ab\)

\(A=8m^3-6m\left(2m^2-1\right)-4m^2+2\left(2m^2-1\right)\)

\(A=-4m^3+6m-2=-2\)

\(\Leftrightarrow4m^3-6m=0\)

\(\Leftrightarrow2m\left(2m^2-3\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-\frac{\sqrt{6}}{2}< -1\left(l\right)\\m=\frac{\sqrt{6}}{2}>1\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(a,\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(-2m-3\right)=4m^2-8m+4+8m+12\\ \Delta=4m^2+16>0\left(đpcm\right)\\ b,\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(2m-2\right)=4m^2-4m+1-8m+8\\ \Delta=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\\ c,Sửa:x^2-2\left(m+1\right)x+2m-2=0\\ \Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-2\right)=4m^2+8m+4-8m+8\\ \Delta=4m^2+12>0\left(đpcm\right)\\ d,\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\cdot2m=4m^2+8m+4-8m\\ \Delta=4m^2+4>0\left(đpcm\right)\\ e,\Delta=4m^2-4\left(m+7\right)=4m^2-4m+7=\left(2m-1\right)^2+6>0\left(đpcm\right)\\ f,\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(-3-m\right)=4m^2-8m+4+12+4m\\ \Delta=4m^2-4m+16=\left(2m-1\right)^2+15>0\left(đpcm\right)\)