Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là điểm đối xứng với E qua BC. CMR: F,D,K thẳng hàng.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao AD, BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi O là trung điểm của BC, E là điểm đối xứng của H qua O. Kẻ CF vuông góc với BE tại F. Gọi K,L, R lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ N đến AC, AD, BC. Gọi giao điểm của DM và CN là S. CMR:
1. Ba điểm K, L, R thẳng hàng
2. HN.CS = NC.SH
3. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, kẻ đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng AI tại P, đường thẳng CP cắt đường thẳng AO tại Q. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng IQ. CMR: đường thẳng PG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC
Gọi ΔABC có 3 góc nhọn (AB<AC). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là điểm đối xứng của E qua BC. C/m F, D, K thẳng hàng.
Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Vẽ HI _|_ EF tại I, HK _|_ DE tại K. IK cắt AD ở M, FM cắt DE ở N. F là điểm đối xứng của B qua D. CM: A,N,S thẳng hàng
Tứ giác FEAH có: \(\widehat{FAH}=\widehat{AEH}=90^o\)
=> Tứ giác FEAH nội tiếp => \(\widehat{HEF}=\widehat{FAH}\)
Tứ giác ABDE có: \(\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^o\)
=> Tứ giác ABDE nội tiếp => \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)
Vậy \(\widehat{HEF}=\widehat{BED}\)
Xét \(\Delta\)HIE \(\left(\widehat{HIE}=90^o\right)\)và \(\Delta\)HKE \(\left(\widehat{HKE}=90^o\right)\)có:
EH chung
\(\widehat{HEI}=\widehat{HEK}\)
=> \(\Delta HIE=\Delta HKE\) (cạnh huyền-góc nhọn)
=> \(\hept{\begin{cases}EI=EK\\HI=HK\end{cases}}\)(2 cạnh tương ứng)
=> \(\Delta\)KEI cân tại E, \(\Delta\)HIK cân tại H
\(\Rightarrow\widehat{KIE}=\frac{1}{2}\widehat{IEK}\Rightarrow\widehat{KIE}+\widehat{FAH}=90^o\)
Mà \(\widehat{MHF}=\widehat{FAH}=90^o\)
Do đó: \(\widehat{KIE}=\widehat{MHF}\)=> Tứ giác FIMH nội tiếp => \(\widehat{MHF}=\widehat{HIF}=90^o\)
Tứ giác HMNK có: \(\widehat{HMN}=\widehat{HKN}=90^o\)=> Tứ giác HMNK nội tiếp
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{HFN}=\widehat{HIK}\\\widehat{HNM}=\widehat{HIK}\\\widehat{HIK}=\widehat{HKI}\end{cases}}\)
=> \(\Delta\)HFN đồng dạng \(\Delta\)HIK (g.g)
=> \(\frac{HF}{HI}=\frac{HN}{HK},HI=HK\Rightarrow HF=HN\)
\(\Delta\)HFN cân tại H, HM _|_ FN => HM là đường trung tuyến của tam giác HFN
FM _|_ AD, BD _|_ AD => FM//BD
MF=MN, DB=DC nên \(\frac{AM}{AD}=\frac{MN}{DS}\)
Xét \(\Delta\)AMN và \(\Delta\)ADS có:
\(\widehat{AMN}=\widehat{ADS}\left(MN//BS\right),\frac{AM}{AD}=\frac{MN}{DS}\)
=> \(\Delta\)AMN đồng dạng \(\Delta\)ADS (c.g.c)
=> \(\widehat{MAN}=\widehat{DAS}\)
=> 2 tia AN, AS trùng nhau => A,N,S thẳng hàng
Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là điểm đối xứng của H qua D. Gọi I và K là hình chiếu của củ M trên AB và AC. Chứng minh I,D,K thẳng hàng.
Hình bạn tự vẽ nhé. EF cắt AH tại L.
Xét tam giác AIM vuông tại I(MI vuông góc AB) có HF//IM ( H là trực tâm nên HF vuông góc AB, từ vuông góc đến song song >> HF//IM) >> \(\frac{AF}{AI}=\frac{AH}{AM}\left(Talet\right)\)
CMTT >> \(\frac{AE}{AK}=\frac{AH}{AM}\left(Talet\right)\)>> \(\frac{AF}{AI}=\frac{AE}{AK}\). Theo Talet đảo có EF // IK.
Xét tam giác AIK có EF // IK >> AEF đồng dạng AIK ( bạn tự cm, quá dễ) >> góc AFE = góc AIK và góc AEF = góc AKI
Xét tam giác AFL và tam giác AID : chung góc A và AFL = AID (cmt) >> AFL đồng dạng AID >> ALF = ADI đồng vị >> ID // EL
CMTT thì LE // DK. Có E,L,F thẳng hàng nên theo tiên đề Euclid suy ra I,D,K thẳng hàng.
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Gọi I là trung điểm của BC, K đối xứng với H qua I. CM: A, O, K thẳng hàng.
b) CM: AK vuông góc EF
c) Cm: nếu tam giác ABC có tanB.tanC=3 thì OH//BC
Gọi ΔABC có 3 góc nhọn (AB<AC). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là điểm đối xứng của E qua BC. C/m F, D, K thẳng hàng.
Cho đường tròn (O; R), dây BC cố định không đi qua O. Trên cung lớn BC lấy A sao cho tam giác ABC nhọn, AB<AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC giao nhau tại H. Lấy S đối xứng với A qua EF, K đối xứng với A qua O.
a) CMR B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn (đã làm)
b) Trung trực AB cắt đường thẳng song song EF đi qua A tại N. NK cắt đường tròn tại L khác K. CMR NB là tiếp tuyến đường tròn (O).
c) CMR khi A di chuyển trên cung lớn BC thì (BK.AL)/ BL không thay đổi và đường tròn ngoại tiếp của tam giác HDS cố định.
MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ GIÚP ĐỠ TỪ CÁC VỊ CAO NHÂN
Mấy bạn cố gắng giải hết bài giùm mình nha. Mình cảm ơn nhiều !!!
b) \(\widehat{NAB}=\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\) nên NA là tiếp tuyến của (O).
Do O, N nằm trên đường trung trực của AB nên A, B đối xứng với nhau qua ON.
Từ đó NB là tiếp tuyến của (O).
c) Do NA là tiếp tuyến của (O) nên \(\Delta NAL\sim\Delta NKA(g.g)\)
\(\Rightarrow\dfrac{NA}{NK}=\dfrac{AL}{KA}=\dfrac{NL}{NA}\Rightarrow\left(\dfrac{AL}{KA}\right)^2=\dfrac{NA}{NK}.\dfrac{NL}{NA}=\dfrac{NL}{NK}\).
Tương tự do NB là tiếp tuyến của (O) nên \(\left(\dfrac{BL}{KB}\right)^2=\dfrac{NL}{NK}\Rightarrow\left(\dfrac{AL}{KA}\right)^2=\left(\dfrac{BL}{KB}\right)^2\Rightarrow\dfrac{AL}{KA}=\dfrac{BL}{KB}\Rightarrow\dfrac{AL}{BL}=\dfrac{KA}{KB}=\dfrac{2R}{KB}\).
Từ đó \(\dfrac{BK.AL}{BL}=2R\) không đổi \(\).
Sửa lại đề là đường tròn (HDS) đi qua một điểm cố định.
Ta có \(\widehat{ASE}=\widehat{EAS}=\widehat{OCA}\) nên tứ giác OECS nội tiếp. Từ đó \(AO.AS=AE.AC=AH.AD\). Suy ra tứ giác OHDS nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác HDS đi qua O cố định
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Gọi H là điểm đối xứng với G qua D, I là điểm đối xứng với G qua E, K là điểm đối xứng với G qua F. Tìm các điểm đối xứng với A, với B, với C qua G.
*) Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.
* Ta có: GD = DH (tính chất đối xứng tâm)
⇒ GH = 2GD (l)
GA = 2GD (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: GA = GH
Suy ra điểm đối xứng với điểm A qua G là H.
* Ta có: GE = EI (tính chất đối xứng tâm)
⇒ GI = 2GE (3)
Lại có, GB = 2GE (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: GB = GI
Suy ra điểm đối xứng với điểm B qua G là I.
+) Ta có: GF = FK (tính chất đối xứng tâm)
⇒ GK = 2GF (5)
GC = 2GF (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (6)
Từ (5) và (6) suy ra: GC = GK
Suy ra điểm đối xứng với điểm C qua G là điểm K