a/

\(BH\perp AC\Rightarrow HF\perp AC;ME\perp AC\) => ME//HF

\(AC\perp AB\Rightarrow EH\perp HF;MF\perp BH\Rightarrow MF\perp HF\) => EH//MF

=> MEHF là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh) => ME=HF (cạnh đối hbh)

b/

\(\widehat{BMD}+\widehat{ABC}=90^o\)

\(\widehat{CME}+\widehat{ACB}=90^o\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{BMD}=\widehat{CME}\)

Mà \(\widehat{CME}=\widehat{CBH}\) (góc đồng vị)

\(\Rightarrow\widehat{BMD}=\widehat{CBH}\)

Xét tg vuông DBM và tg vuông FMB có

\(\widehat{BMD}=\widehat{CBH}\) 

BM chung 

=> tg DBM = tg FMB (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

c/

Ta có ME = HF (cmt)

tg DBM = tg FMB (cmt) => MD = BF

=> MD+ME=BF+HF=BH không đổi

d/

Từ D dựng đt // AC cắt BC tại N

\(\Rightarrow\widehat{BND}=\widehat{ACB}\) Góc đồng vị)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

=> \(\widehat{BND}=\widehat{ABC}\) => tg DBN cân tại D => BD=ND (1)

tg DBM = tg FMB (cmt) => BD=MF (2)

Mà MF = EH (cạnh đối hbh) (3)

Mà EH = KC (4)

Từ (1) (2) (3) (4) => ND = KC

Mà ND//AC => ND//KC

=> DEKN là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

Mà DK và NC là hai đường chéo của hbh cắt nhau tại trung điểm mỗi đường => trung điểm của KD nằm trên NC mà NC thuộc BC => trung điểm KD nằm trên BC

a) Vẽ MH, rõ ràng HEMF có tổng số đo của 4 góc là 360^o (vì tổng số đo của 4 góc đó là tổng số đo của các góc của các tam giác FMH và EMH)

Mà theo giả thuyết \(MD\perp AB\), \(ME\perp AC\) và \(MF\perp BH\) nên \(MF\perp ME\). Suy ra HEMF là hình chữ nhật, từ đó ME = HF.

b) Ta có \(\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\) (vì tam giác ABC cân tại A) và \(\widehat{FMB}=\widehat{ACM}\) (vì hai góc đồng vị và AC//MF vì \(ME\perp AC\) và \(MF\perp ME\)), suy ra \(\widehat{ABM}=\widehat{FMB}\).

Xét tam giác DBM vuông tại D và FMB vuông tại F có BM là cạnh chung và \(\widehat{ABM}=\widehat{FMB}\), suy ra ΔDBM = ΔFMB (cạnh huyền - góc nhọn)

c) Từ a) và b) suy ra MD = BF, MD + ME = BF + FH = BH. Vậy khi M chạy trên đáy BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi.

Hình bạn tự vẽ nhé!

Giải:

Vì D là trung điểm của AC (gt)

nên AD = CD

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta CED\) có:

AD = CD (chứng minh trên)

\(\widehat{ADB}=\widehat{CDE}\)(2 góc đối đỉnh)

ED = BD (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta CED\) (c.g.c)   (1)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CED}\) (2 góc tương ứng)  

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow\)AB // CD  (dấu hiệu nhận biết)  (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrowđpcm\)

b) Ta có: AF _|_ BD tại F

              CG _|_ DE tại G

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{AFD}=90^o\\\widehat{CGD}=90^o\end{cases}}\Rightarrow\widehat{AFD}=\widehat{CGD}\)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow\) AF // CG (dấu hiệu nhận biết) (3)

\(\Rightarrow\widehat{FAH}=\widehat{DCG}\) (2 góc so le trong)

Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta CDG\) có:

AD = CD (chứng minh trên)

\(\widehat{ADF}=\widehat{CDG}\) (2 góc đối đỉnh)

\(\widehat{FAH}=\widehat{DCG}\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta ADF=\Delta CDG\) (g.c.g)

\(\Rightarrow\) DF = DG (2 cạnh tương ứng)  (4)

Từ (3), (4) \(\Rightarrowđpcm\)

c) Xét \(\Delta CDE\) có:

Giao điểm 2 đường thẳng CG và EI là M

CG, EI đều là đường cao của \(\Delta CDE\)

\(\Rightarrow\)DM cũng là đường cao của \(\Delta CDE\)

\(\Rightarrow DM\perp AB\)(5)

Xét \(\Delta ABD\) có:

Giao điểm 2 đường thẳng CG, EI là M

AF, BH đều là đường cao của \(\Delta ABD\)

\(\Rightarrow DK\) cũng là đường cao của \(\Delta ABD\)

\(\Rightarrow DK\perp AB\) (6)

Từ (5), (6) suy ra đpcm

Bạn vẽ hình rồi mình giải cho

Xét tam giác ADE và ADF :

Ta có: AD chung

BAD = DAC

=> tam giác ADE = ADF ( Cạnh huyền góc nhọn )

=> DE = DF

=> tam giác DEF cân tại D

Xét \(\Delta EBD;\Delta FDC\) có :

\(\widehat{BED}=\widehat{CED}\left(=90^o-gt\right)\)

\(BD=DC\left(gt\right)\)

\(\widehat{EBD}=\widehat{FCD}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A - gt)

=> \(\Delta EBD=\Delta FDC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(DE=DF\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta DEF\) có :

\(DE=DF\) (cmt)

=> \(\Delta DEF\) cân tại D (đpcm)