-Ta chia làm 2 bài:

*C/m: Khi 6a, 2b, a+b+c và d là số nguyên thì đa thức trên có giá trị nguyên với mọi x nguyên.

- 6a nguyên \(\Rightarrow\)a nguyên.

- 2b nguyên \(\Rightarrow\)b nguyên.

- a+b+c nguyên \(\Rightarrow\)c nguyên.

\(\Rightarrow\)đpcm.

*C/m: Khi đa thức trên có giá trị nguyên với mọi x nguyên thì 6a, 2b, a+b+c và d là số nguyên.

\(f\left(0\right)=d\) nguyên.

\(f\left(1\right)=a+b+c+d\) nguyên \(\Rightarrow\) a+b+c nguyên.

\(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d\) nguyên \(\Rightarrow8a+4b+2c\) nguyên.

\(\Rightarrow4a+2b+c\) nguyên

\(\Rightarrow4a+2b+c-\left(a+b+c\right)\) nguyên.

\(\Rightarrow3a+b\) nguyên.

\(f\left(3\right)=27a+9b+3c+d\) nguyên \(\Rightarrow27a+9b+3c\) nguyên

\(\Rightarrow9a+3b+c\) nguyên

\(9a+3b+c-\left(a+b+c\right)\) nguyên.

\(\Rightarrow8a+2b\) nguyên \(\Rightarrow4a+b\) nguyên

\(\Rightarrow a,b\) nguyên.

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

CHO ĐA thức f(x)=\(ax^3 bx^2 cx d\). Chứng minh rằng nếu f(X) nhận giá tri nguyên vs mọi giá trị nguyên của x thì d,2b,6... - Hoc24

\(f\left(0\right)=a.0^3+b.0^2+c.0+d=d\)

\(f\left(1\right)=a.1^3+b.1^2+c.1+d=a+b+c+d\)

\(f\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^3+b.\left(-1\right)^2+c.\left(-1\right)+d=-a+b-c+d\)

Do f(x)=ax³+bx²+cx+d đạt giá trị nguyên với mọi x => d;a+b+c+d;-a+b-c+d nguyên

=>(a+b+c+d)+(-a+b-c+d)=2b+2d  mà d nguyên => 2d nguyên 

=>(2b+2d)-2d=2b nguyên