Question

Cho f(x) = ax³+bx²+cx +d có giá trị nguyên với mọi x thuộc Z.

Chứng minh rằng: 6a, 2b thuộc Z.

Answer 1

+ Với x=0 ta có f(x) = d ( \(f\left(0\right)\in Z\Rightarrow d\in Z\) )

+ Với x=-1 ta có \(f\left(-1\right)=-a+b-c+d\)

+ Với x= 1 ta có \(f\left(1\right)=a+b+c+d\)

\(\Rightarrow f\left(-1\right)+f\left(1\right)=2b+2d\)

\(\Rightarrow2b=f\left(-1\right)+f\left(1\right)-2d\)

\(\Rightarrow2b\in Z\left(1\right)\)

+ Với x=2 ta có \(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)-2f\left(1\right)=6a-2b+d\)

\(\Rightarrow6a=f\left(2\right)-2f\left(1\right)+2b-d\)

\(\Rightarrow6a\in Z\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow6a,2b\in Z\left(đpcm\right)\)