Dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)\)

Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:

\(D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)\)

Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được

Theo BĐT Cauchy Schwarz 

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1/3 

Trước tiên ta cần chứng minh :

\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Trong 3 số : \(\hept{\begin{cases}a-1\\b-1\\c-1\end{cases}}\) sẽ có ít nhất 2 số cùng dấu 

Giả sử hai số đó là : \(a-1,b-1\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2abc\ge2\left(ac+bc-c\right)\)

Giờ ta cần chứng minh : \(a^2+b^2+c^2+2\left(ac+bc-c\right)+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow b^2-2ab+a^2+c^2-2c+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) ( đúng )

\(\Rightarrow\) ta có đpcm 

Quay lại bài toán ban đầu ta có :

\(P=a^2+b^2+c^2+2abc+\frac{18}{ab+bc+ac}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-1+\frac{18}{ab+bc+ca}\)

\(\ge2.2.3\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}}-1=11\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Vai trò của a, b, c là bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

Ta có BĐT quen thuộc sau: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Có: \(VT-VP=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(a+b+2\sqrt{ab}-2c\right)+\left(c-1\right)^2+2c\left(\sqrt{ab}-1\right)^2\ge0\)(vì \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)) 

Từ đó \(P\ge2\left(ab+bc+ca\right)+\frac{18}{ab+bc+ca}-1\)

\(\ge2\sqrt{2\left(ab+bc+ca\right).\frac{18}{ab+bc+ca}}-1=11\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =  1

Hoàng Việt Nhật: Trả lời kiểu gì mà nhanh vậy, t mất 3 phút để nhớ lại cái BĐT phụ này.

\(\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\frac{1}{2\left(ab+bc+ca\right)}+2.\left(\frac{4}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)\)

\(\ge\frac{1}{2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}+2.\frac{\left(2+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(=\frac{1}{2.\frac{1}{3}}+2.\frac{9}{1}=\frac{39}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

tao ko biet

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=2(\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2})+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\ \geq 2.\frac{9}{2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\ =\frac{18}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\ =18+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

$2(ab+bc+ac)\leq 2.\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{2(ab+bc+ac)}\geq \frac{3}{2}$

$\Rightarrow P\geq 18+\frac{3}{2}=\frac{39}{2}$
Vậậy $P_{\min}=\frac{39}{2}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$