2.

a) Vì \(\left|2x+1\right|\ge0\forall x\in R\\ \Rightarrow3\left|2x+1\right|\ge0\forall x\in R\\ \Rightarrow3\left|2x+1\right|-4\ge-4\forall x\in R\\ \Rightarrow A\ge-4\forall x\in R\)

Vậy GTNN của A là -4 đạt được khi \(x=-\dfrac{1}{2}\)

Mai mk phải nộp rồi ! Các bn ơi giúp mk với! Help Me ! Thank you !

1. Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\)

Vậy\(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\) (đpcm)

Lời giải:

\(\bullet\)Nếu \(x\geq \frac{1}{2}\Rightarrow K=x-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-x=\frac{1}{4}\)

\(\bullet\) Nếu \(x<\frac{1}{2}\Rightarrow K=\frac{1}{2}-x+\frac{3}{4}-x=\frac{5}{4}-2x\)

Vì \(x<\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{5}{4}-2x>\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}\)

Do đó \(K_{\min}=\frac{1}{4}\)

Hàm hiển nhiên không có max. Xét hàm \(\frac{5}{4}-2x\), với giá trị của \(x<\frac{1}{2}\), càng nhỏ thì $K$ càng lớn đến dương vô cùng.

TH1:Nếu x-\(\dfrac{1}{2}=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\)K=\(\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right|+\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)

TH2:Nếu x-\(\dfrac{1}{2}>0\Rightarrow x>\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left|x-\dfrac{1}{2}\right|=x-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow K=x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}-x=\dfrac{1}{4}\)

TH3:Nếu \(x-\dfrac{1}{2}< 0\Rightarrow x< \dfrac{1}{2}\Rightarrow\left|x-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}-x\)

\(\Rightarrow K=\dfrac{1}{2}-x+\dfrac{3}{4}-x\)

\(\Rightarrow K=\dfrac{5}{4}-2x< \dfrac{1}{4}\)

Vậy Max K=\(\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x\ge\dfrac{1}{2}\)

1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).

2.

\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)

Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)

\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )

\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)

\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)

3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

|x-1/2| =x-1/2 khi x >= 1/2

=> Min K =1/4 khi x>=1/2

không có max

a.

\(F=\dfrac{a}{b+2}\Rightarrow F.b+2F=a\)

\(\Rightarrow2F=a-F.b\)

\(\Rightarrow4F^2=\left(a-F.b\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(1^2+F^2\right)=F^2+1\)

\(\Rightarrow3F^2\le1\)

\(\Rightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\le F\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Dấu "=" lần lượt xảy ra tại \(\left(a;b\right)=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\) và \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)

b. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=x\\a-2b=y\end{matrix}\right.\) quay về câu a

Ta có : \(P=2x^2-8x+1=2\left(x^2-4x\right)+1=2\left(x^2-4x+4-4\right)+1=2\left(x-2\right)^2-7\)

Vì \(2\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\) 

Nên : \(P=2\left(x-2\right)^2-7\ge-7\forall x\in R\)

Vậy \(P_{min}=-7\) khi x = 2