\(M^2=\left(3sinx+4cosx\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)=25\)

\(\Rightarrow-5\le M\le5\)

\(\Rightarrow M_{max}=5\) ; \(M_{min}=-5\)

\(A=\frac{m^2+5m+3}{m^2+m+1}\)

\(\Leftrightarrow A\cdot m^2+A\cdot m+A=m^2+5m+3\)

\(m^2\left(A-1\right)+m\left(A-5\right)+\left(A-3\right)=0\)

Xét \(\Delta=\left(A-5\right)^2-4\left(A-3\right)\left(A-1\right)\)

\(=A^2-10A+25-4\left(A^2-4A+3\right)\)

\(=-3A^2+6A+12\)

Điều kiện có nghiệm là \(\Delta\ge0\) bám vào đk mà đánh giá tiếp

Xét A = 1 nữa.

Hình như bạn @Lê Đức Anh nhờ tớ làm tiếp thì phải,đến đây EZ rồi chớ

Nhớ xét A = 1 như tth_new nói nha !

\(-3A^2+6A+12=-3\left(A-1\right)^2+15\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)^2\le5\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{5}\le A-1\le\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{5}+1\le A\le\sqrt{5}+1\)

Dấu bằng tự xét nốt :3

Ta có :

|x - 1/2| > 0

Vậy GTNN của |x - 1/2| = 0 <=> x - 1/2 = 0 <=> x = 1/2

\(Q=-2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{25}{2}\le\dfrac{25}{2}\)

\(Q_{max}=\dfrac{25}{2}\) khi \(x=\dfrac{3}{2}\)

\(A=\dfrac{9\left(x^2+2\right)-9x^2+6x-1}{x^2+2}=9-\dfrac{\left(3x-1\right)^2}{x^2+2}\le9\)

\(A_{max}=9\) khi \(x=\dfrac{1}{3}\)

\(A=\dfrac{12x+34}{2\left(x^2+2\right)}=\dfrac{-\left(x^2+2\right)+x^2+12x+36}{2\left(x^2+2\right)}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\left(x+6\right)^2}{2\left(x^2+2\right)}\le-\dfrac{1}{2}\)

\(A_{min}=-\dfrac{1}{2}\) khi \(x=-6\)

\(y\le\sqrt{2\left(6-2x+3+2x\right)}=3\sqrt{2}\)

\(y_{max}=3\sqrt{2}\) khi \(x=\dfrac{3}{4}\)

\(y\ge\sqrt{6-2x+3+2x}=3\)

\(y_{min}=3\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bdtd quen thuộc : 

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Chứng minh bđt nha ( quên mất )

Áp dụng bđt Cauchy :

\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{cases}}\)

Nhân từng vế của 2 bđt ta được đpcm

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

\(M=\frac{4x+1}{x^2+3}\)

\(\Leftrightarrow Mx^2+3M=4x+1\)

\(\Leftrightarrow Mx^2-4x+3M-1=0\)(1)

*Nếu M = 0 thì x =  ^-1/₄

*Nếu M khác 0 thì (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

                                                     \(\Leftrightarrow4-M\left(3M-1\right)\ge0\)

                                                    \(\Leftrightarrow4-3M^2+M\ge0\)

                                                     \(\Leftrightarrow-1\le M\le\frac{4}{3}\)

Bạn ơi đề là M = \(\dfrac{x^2+x+1}{x^2+4}\) hay M = \(\dfrac{x^2+x+1}{x^2}+4\) vậy bn?