a: \(=\dfrac{3}{2}\sqrt{6}+\dfrac{2}{3}\sqrt{6}-2\sqrt{3}=\dfrac{13}{6}\sqrt{6}-2\sqrt{3}\)

b: \(VT=\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\cdot\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\)

c: \(VT=\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}\)

\(=\dfrac{y-x}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}=\dfrac{-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\)

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

cho các số thực dưong x,y,z thỏa mãn : x2 y2 z2=3chứng minh rằng : \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}} \dfrac{y}{\sqrt[3]{zx}} \df... - Hoc24

Cách khác:

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum \frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=3\sum \frac{x}{y+z+1}=3\sum \frac{x^2}{xy+xz+x}\)

\(\geq 3. \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\)

Ta sẽ chứng minh: \(\frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\geq xy+yz+xz(*)\)

Đặt $x+y+z=a$ thì $xy+yz+xz=\frac{a^2-3}{2}$

Bằng BĐT AM-GM dễ thấy $\sqrt{3}< a\leq 3$

BĐT $(*)$ trở thành:

$\frac{3a^2}{a^2+a-3}\geq \frac{a^2-3}{2}$

$\Leftrightarrow a^4+a^3-12a^2-3a+9\leq 0$

$\Leftrightarrow (a-3)(a+1)(a^2+3a-3)\leq 0$

Điều này đúng với mọi $\sqrt{3}< a\leq 3$

Do đó BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

\(A=\dfrac{x-2\sqrt{xy}+y+4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\\ A=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{x}+\sqrt{y}\\ A=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{y}\)

Đề sai

\(A=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\)

\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x}-\sqrt{y}\)

\(=2\sqrt{x}\)

1/ Sửa đề:   \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)

Với mọi x, y, z ta luôn có:   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\)   \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\)   \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)

\(\Rightarrow\)   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)

Do đó dấu "=" xảy ra    \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\)    \(\Leftrightarrow\)    x = y = z

3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\)   \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\)    \(\Leftrightarrow\)    \(a^2-2ab+b^2\ge0\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)

Đẳng thức xảy ra   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

\( a)\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} = 3\\ \Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| = 3\\ T{H_1}:2x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \dfrac{1}{2}\\ 2x - 1 = 3\\ \Leftrightarrow 2x = 3 + 1\\ \Leftrightarrow 2x = 4\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{2} = 2\left( {TM} \right)\\ T{H_2}:2x - 1 < 0 \Rightarrow x < \dfrac{1}{2}\\ - \left( {2x - 1} \right) = 3\\ \Leftrightarrow - 2x + 1 = 3\\ \Leftrightarrow - 2x = 3 - 1\\ \Leftrightarrow - 2x = 2\\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{2}{2} = - 1\left( {TM} \right) \)

Vậy...

1 a) \(\sqrt{4x^2-4x+1}=3\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)^2}=3\Leftrightarrow\left|2x-1\right|=3\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=3\\2x-1=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\)

b) Với x > 0 ; y > 0,ta có :

\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\right)=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=x-y\)

1.

a) \(\sqrt{4x^2-4x+1}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)^2}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|2x-1\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=3\\2x-1=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\)( thỏa )

b) \(VT=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\cdot\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\)

\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

\(=x-y=VP\)(đpcm)

chịu thua vô điều kiện xin lỗi nha : v

muốn biết câu trả lời lo mà sệt trên google ấy đừng có mà dis:v

\(A=\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right).\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]:\frac{\sqrt{x^3}+y.\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y^3}}{\sqrt{x^3y}+\sqrt{xy^3}}\)

\(\Leftrightarrow A=\left[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}.\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{x+y}{xy}\right]:\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^3}{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{2\sqrt{xy}+x+y}{xy}:\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^3}{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)

sai sót chỗ nào chỉ cho mk nhé. ý kia chốc nx làm nốt

a.\(DK:x,y>0\)

Ta co:

\(A=\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{xy}.\frac{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\)

b.

Ta lai co:

\(A=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2\sqrt{\sqrt{x}.\sqrt{y}}}{4}=1\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=4\)

Vay \(A_{min}=1\)khi \(x=y=4\)