\(\left(x-y\right):\left(x+y\right):xy=1:7:24\)

\(\Rightarrow\frac{x-y}{1}=\frac{x+y}{7}=\frac{xy}{24}\) (1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đốt với hai tỉ số đầu ta có:

\(\frac{x-y}{1}=\frac{x+y}{7}=\frac{x-y+x+y}{1+7}=\frac{2x}{8}=\frac{x}{4}\)

Do đó \(\frac{x}{4}=\frac{xy}{24}\Rightarrow\frac{x}{xy}=\frac{4}{24}\Rightarrow\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\Rightarrow y=6\)

Thay y = 6 vào (1) ta có:

\(\frac{x-6}{1}=\frac{x+6}{7}\)

=> 7(x - 6) = x + 6

=> 7x - 42 = x + 6

=> 7x - x = 6 + 42

=> 6x = 48

=> x = 8

Vậy x = 8, y = 6

- Từ đề bài

=>\(\dfrac{x-y}{1}=\dfrac{x+y}{7}=\dfrac{xy}{24}\)

- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x-y}{1}=\dfrac{x+y}{7}=\dfrac{xy}{24}\)\(=\dfrac{x-y-x+y+xy}{1-7+24}=\dfrac{\left(x-x\right)+\left(-y+y\right)+xy}{18}=\dfrac{xy}{18}\)

=> xy \(\in\) bội chung của 18.

- Vậy xy \(\in\) bội chung của 18.

( mình làm theo cách của mình nên cx chưa phải là chính xác nhé.)

Theo bài ra ta có : \(\left(x-y\right)\div\left(x+y\right)\div xy=1\div7\div24\)

\(\Rightarrow\dfrac{x-y}{1}=\dfrac{x+y}{7}=\dfrac{xy}{24}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :

\(\dfrac{x-y}{1}=\dfrac{x+y}{7}=\dfrac{\left(x-y\right)+\left(x+y\right)}{1+7}\\ =\dfrac{x-y+x+y}{8}\\ =\dfrac{\left(x+x\right)-\left(y-y\right)}{8}\\ =\dfrac{2x}{8}\\ =\dfrac{x}{4}\)

Tương tự :

\(\dfrac{x+y}{7}=\dfrac{x-y}{1}=\dfrac{\left(x+y\right)-\left(x-y\right)}{7-1}\\ =\dfrac{x+y-x+y}{6}\\ =\dfrac{\left(x-x\right)+\left(y+y\right)}{6}\\ =\dfrac{2y}{6}\\ =\dfrac{y}{3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{xy}{24}=\dfrac{x}{4}\\\dfrac{xy}{24}=\dfrac{y}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4xy=24x\\3xy=24y\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{24x}{4x}\\x=\dfrac{24y}{3y}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=6\\x=8\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x;y=\left\{6;8\right\}\)

Gọi 2 số cần tìm là x và y \(\left(x,y\ne0\right)\)

Theo đề bài ta có :

\(\left(\dfrac{x-y}{1}\right)=\left(\dfrac{x+y}{7}\right)=\left(\dfrac{xy}{24}\right)\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số = nhau ta có :

\(\left(\dfrac{x-y}{1}\right)=\left(\dfrac{x+y}{7}\right)=\left(\dfrac{x-y+x+y}{1+7}\right)=\dfrac{2x}{8}=\dfrac{x}{4}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{xy}{24}\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x}{xy}=\dfrac{4}{24}\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\)

Thay \(y=6\) ta có :

\(\left(\dfrac{x-6}{1}\right)=\left(\dfrac{x+6}{7}\right)\)

\(\Leftrightarrow7x-42=x+6\)

\(\Leftrightarrow7x-x=6+42\)

\(\Rightarrow x=8\)

Vậy : \(\left[{}\begin{matrix}x=8\\y=6\end{matrix}\right.\)

Chúc bạn học tốt :D

Thiếu điều kiện xy = 1; x+y khác 0 nhá bn

Bài này tương tự câu 1 ở đây

\(x^3+3x^2+3x+1+y^3+3y^3+3y+1+x+y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+x+y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)\right)+\left(x+y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y+2=0\)

(phần trong ngoặc \(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\frac{\left(y+1\right)^2}{4}+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\)

\(=\left(x+1-\frac{y+1}{4}\right)^2+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\) luôn dương)

\(\Rightarrow x+y=-2\)

Mà \(xy>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\y< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x>0\\-y>0\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\frac{1}{-x}+\frac{1}{-y}\ge\frac{4}{-\left(x+y\right)}=2\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le-2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=-1\)

2/ \(x;y;z\ne0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{xz+yz+z^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{xy+yz+xz+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\) dù trường hợp nào thì thay vào ta đều có \(B=0\)

3/ \(\Leftrightarrow mx-2x+my-y-1=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x+y\right)-\left(2x+y+1\right)=0\)

Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà d đi qua

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+y_0=0\\2x_0+y_0+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=1\end{matrix}\right.\)

Vậy d luôn đi qua \(A\left(-1;1\right)\) với mọi m

hệ phương trình tương đương \(\left\{{}\begin{matrix}xy-x+y-1=2\\xy+x-3y-3=-6\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}2xy-2y-4=-4\\-2x+4y+2=8\end{matrix}\right.\)

( cái này mk cộng và trừ hai phương trình của hệ với nhau thôi )

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}2y\left(x-1\right)=0\\-x+2y=3\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

p/s có gì ko hiểu hỏi mk nha

@Ami Ngọc kb vs mik nhé

a) Ta có: \(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1-\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{1+\sqrt{xy}}\right):\left(1+\dfrac{x+2xy+y}{1-xy}\right)\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)}{\left(1-\sqrt{xy}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}:\dfrac{1-xy+x+2xy+y}{1-xy}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}\left(y+1\right)}{\left(1-\sqrt{xy}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}\cdot\dfrac{\left(1-\sqrt{xy}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}{x+xy+y+1}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}\left(y+1\right)}{\left(y+1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{2\sqrt{x}}{x+1}\)

Đk:\(xy\ne1;x\ge0;y\ge0\)

 \(P=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)}{\left(1-\sqrt{xy}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}:\dfrac{1-xy+x+y+2xy}{1-xy}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y}+y\sqrt{x}+\sqrt{x}-x\sqrt{y}-\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{xy}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}:\dfrac{1+x+y+xy}{1-xy}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}+2y\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{xy}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}:\dfrac{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}{1-xy}\)\(=\dfrac{2\sqrt{x}\left(1+y\right)}{1-xy}.\dfrac{1-xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}=\dfrac{2\sqrt{x}}{1+x}\)

b) Áp dụng AM-GM có:

\(1+x\ge2\sqrt{x}\Leftrightarrow\)\(\dfrac{2\sqrt{x}}{1+x}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi x=1 (tm)

Vậy \(P_{max}=1\)

Ta có: \(B=\left(1-\frac{z}{x}\right)\left(1-\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)=\frac{x-z}{x}.\frac{y-x}{y}.\frac{z+y}{z}\)

Từ: \(x-y-z=0\Rightarrow x-z=y;y-x=-z\) và \(y+z=x\)

Suy ra: \(B=\frac{y}{x}.\frac{-z}{y}.\frac{x}{z}=-1\left(x;y;z\ne0\right)\)

MTC: (x+y)(x+1)(1-y)

\(=\frac{x^2\left(1+x\right)-y^2\left(1-y\right)-x^2y^2\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(1+x\right)\left(1-y\right)}=\frac{\left(x+y\right)\left(1+x\right)\left(1-y\right)\left(x-y+xy\right)}{\left(x+y\right)\left(1+x\right)\left(1-y\right)}\)

\(=x-y+xy\)

Với \(x\ne-1;x\ne-y;y\ne1\)thì giá trị biểu thức được xác định