\(c,=\left(31,8-21,8\right)^2=10^2=100\\ 12,\\ a,\left(n+2\right)^2-\left(n-2\right)^2\\ =\left(n+2-n+2\right)\left(n+2+n-2\right)\\ =4\cdot2n=8n⋮8\\ b,\left(n+7\right)^2-\left(n-5\right)^2\\ =\left(n+7-n+5\right)\left(n+7+n-5\right)\\ =12\left(2n+2\right)=24\left(n+1\right)⋮24\)

tui chiuj

d) ( n + 7 )² - ( n - 5 )²

= n² + 14n + 49 - n² + 10n - 25

= 24n + 24

= 24 ( n + 1 ) chia hết cho 24 ( đpcm )

e) 

( 7n + 5 )² - 25

= ( 7n + 5 )² - 5²

= ( 7n + 5 - 5 ) ( 7n + 5 + 5 )

= 7n ( 7n + 10 ) chia hết cho 7 ( đpcm )

f) ( n + 6 )² - ( n - 6 )²

= ( n + 6 + n - 6 ) ( n + 6 - n + 6 )

= 2n . 12

= 24n chia hết cho 24 ( đpcm )

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)\)

\(=\left(n+1\right)n\left(n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

Mặt khác n và n+1 và n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\forall n\left(đpcm\right)\)

\(n\left(n^2-1\right)\left(n^2+6\right)\\=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+10\right) \\ =n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+10n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì n-2, n-1, n, n+1, n+2 là 5 số nguyên liến tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết 3, 1 số chia hết 5

Mà (2,3,5)=1\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3.5=30\)

Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liến tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết 3

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\Rightarrow10n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3.10=30\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+10n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮30\)

Vậy ...

Ta có n^2(n+1)+2n(n+1) = n^3+3n^2+2n = n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2) 
Ta thấy n, n+1, n+2 là ba số nguyên liên tiếp với n nguyên 
=> trong 3 số n, n+1, n+2 có một số chia hết cho 3, có ít nhất một số chia hết cho 2 
=> n(n+1)(n+2) chia hết cho 2*3 = 6 (vì ƯCLN(2;3)=1) 
=> đpcm

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)

\(=>\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)\)

\(=>n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Ta thấy \(n;\left(n+1\right);\left(n+2\right)\)là 3 số tự nhiên liên tiếp

Mà tích của 3 số tn liên tiếp luôn chia hết cho 6

=> \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)chia hết ch 6 ( đpcm )

Cấm ai chép ...............

A=5^n^2+5^n-18n^2-6^n*2

  = (5^n^2-18^n^2)+(5^n-12^n)

= -13^n^2-7^n

Mà  -13^n^2-7^n chia hết cho 91 ( do chia hết cho 13 và 7)

=> A chia hết cho 91 ( đpcm)

k đúng cho mình  nhé

Phải sửa đề là chia hết cho 8 nha,mk có thử lại rồi: \(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+4\right)-1\left(n+4\right)-n\left(n+1\right)+4\left(n+1\right)\)

\(=n^2+4n-n+4-n^2+n+4n+4\)

\(=\left(n^2-n^2\right)+\left(4n+4n\right)+\left(n-n\right)+\left(4+4\right)\)

\(=0+8n+0+8\)

\(=8n+8\)

\(=8\left(n+8\right)⋮8\rightarrowđpcm\)

Bài 2:Tìm x biết

\\(\\left(4x+3\\right)^3+\\left(5-7x\\right)^3+\\left(3x-8\\right)^3=0\\)

\\(\\Leftrightarrow\\left[\\left(4x\\right)^3+3.\\left(4x\\right)^2.3+3.4x.3^2+3^3\\right]+\\left[5^3-3.5^2.7x+3.5.\\left(7x\\right)^2-\\left(7x\\right)^3\\right]+\\left[\\left(3x\\right)^3-3.\\left(3x\\right)^2.8+3.3x.8^2-8^3\\right]=0\\)

\\(\\Leftrightarrow64x^3+144x^2+108x+27+125-525x+735x^2-343x^3+27x^3-216x^2+576x-512=0\\)

\\(\\Leftrightarrow-252x^3+663x^2+159x-360=0\\)

\\(\\Leftrightarrow3\\left(-84x^3+221x^2+53x-120\\right)=0\\)

Bài 2: Đặt \(4x+3=a;5-7x=b;3x-8=c\Rightarrow a+b+c=0\)

Kết hợp với đề bài ta có \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3+c^3=0\\a+b+c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3+c^3-3abc+3abc=0\\a+b+c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc=0\left(1\right)\\a+b+c=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Thay (2) vào (1) suy ra \(3abc=0\Leftrightarrow a=0\text{hoặc }b=0\text{hoặc }c=0\)

+) a = 0 suy ra \(x=-\frac{3}{4}\)

+) b = 0 suy ra \(x=\frac{5}{7}\)

+) c = 0 suy ra \(x=\frac{8}{3}\)

Vậy...