Chọn đáp án C.

Gọi M là trung điểm của BC: 

Do tam giác ABC đều nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABM ta có:

b²/2h

1

Ta có O là trọng tâm của tg ABC => AO là đường trung tuyến của tg ABC => AO là đường cao của tg ABC (Trong tg cân đường đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường cao và đường trung trực)

$\Rightarrow OH=\frac{AH}{3}=\frac{h}{3}$ (trong tg 3 đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm gọi là trọng tâm của tg và cách đáy 1 khoảng = 1/3 chiều dài mỗi đường)

Xét tg vuông ABH có

$B{H}^2=A{B}^2+A{H}^2=b^2+h^2$

Xét tg vuông OBH có

$BO=R=\sqrt{B{H}^2+O{H}^2}=\sqrt{b^2-h^2+\frac{h^2}{9}}=\frac{1}{3}\sqrt{9b^2-8h^2}$

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC.

Kẻ AH ⊥ BC. Ta có: O ∈ AH

Trong tam giác vuông ABH, ta có:

Vì tam giác ABC đều nên AH là đường cao cũng đồng thời là trung tuyến nên:

Vậy chọn đáp án C.

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{BC}{2}\cdot h\)

Bán kính là:

\(R=\dfrac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot S}=\dfrac{b\cdot b\cdot BC}{4\cdot\dfrac{BC\cdot h}{2}}=\dfrac{b\cdot b\cdot BC}{2\cdot BC\cdot h}=\dfrac{b^2}{2h}\)

Ta có: O là trọng tâm của △ ABC ⇒ AO là đường trung tuyến của △ ABC ⇒ AO là đường cao của △ ABC (  Trong tam giác cân đường đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường cao và đường trung trực )

 ( trong tam giác 3 đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm gọi là trọng tâm của tam giác và cách đáy 1 khoảng = \(\dfrac{1}{3}\) chiều dài mỗi đường )

Xét tam giác vuông ABH có

Xét tam giác vuông OBH có

Gọi  3 cạnh cua tam giác là a ;b; c

2p =a+b+c

\(S=r.p=p\) 

=> \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{ah1}{2}=\frac{bh2}{2}=\frac{ch3}{2}=\frac{a}{\frac{2}{h1}}=\frac{b}{\frac{2}{h2}}=\frac{c}{\frac{2}{h3}}=\frac{a+b+c}{2\left(\frac{1}{h1}+\frac{1}{h2}+\frac{1}{h3}\right)}\)

=>\(\frac{1}{h1}+\frac{1}{h2}+\frac{1}{h3}=1\) => h1h2+h2h3+h1h3 = h1h2h3   => h1=h2=h3  ( vì h1;h2;h3 là 3 số nguyên)

=> KL

gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác, x,y,z là độ dài đường cao tương ứng
ta có:2S_ABC= a+b+c=xa=by=cz
 \(a+b+c=\frac{a}{\frac{1}{x}}=\frac{b}{\frac{1}{y}}=\frac{c}{\frac{1}{z}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Có \(ax=a+b+c\ge2a\)(BDT tam giác)
=>\(x\ge3\)(vì x nguyên)
tương tự \(y\ge3;z\ge3\)
=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=3<=> tam giác ABC đều