a)

\(P \Rightarrow Q\): “Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì các cạnh của nó thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”

Mệnh đề này đúng.

\(Q \Rightarrow P\): “Nếu tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) thì tam giác ABC vuông tại A”

Mệnh đề này đúng.

\(P \Leftrightarrow Q\): “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A khi và chỉ khi các cạnh của nó thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”

Mệnh đề này đúng do các mệnh đề \(P \Rightarrow Q,Q \Rightarrow P\)đều đúng.

\(\overline P  \Rightarrow \overline Q \): “Nếu tam giác ABC không là tam giác vuông tại A thì các cạnh của nó thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} \ne B{C^2}\)”

Mệnh đề này đúng.

b) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) có thể phát biểu là:

“Tam giác ABC là tam giác vuông tại A là điều kiện đủ để tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”

“Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) là điều kiện cần để tam giác ABC vuông tại A”

c)

X là tập hợp các tam giác ABC vuông tại A.

 Y là tập hợp các tam giác ABC có trung tuyến \(AM = \frac{1}{2}BC\).

Dễ thấy: \(X \subset Y\) do các tam giác ABC vuông thì đều có trung tuyến \(AM = \frac{1}{2}BC\).

Ta chứng minh: Nếu tam giác ABC có trung tuyến \(AM = \frac{1}{2}BC\) thì tam giác ABC vuông tại A.

Thật vậy, \(BM = MC = AM = \frac{1}{2}BC\) suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC, ngoại tiếp tam giác ABC.

\( \Rightarrow \widehat {BAC} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông.

Do đó \(Y \subset X\)

Vậy \(X = Y\)

Bài 2 :

a) \(10\le\overline{a_7a_8}\le31\) để \(100\le\left(\overline{a_7a_8}\right)^2\le999\) là số có ba chữ số.

Với mỗi số trong khoảng \(\left\{10;11;12;...;31\right\}\) ta lại có một số \(\overline{a_1a_2a_3}\) khác nhau; còn a₄; a₅; a₆ tùy ý.

b) Trước hết : \(23\le\overline{a_7a_8}\le46\)

Trước hết để a₇a₈ khi lập phương lên sẽ vẫn có chữ số tận cùng ban đầu thì \(a_8\in\left\{0;1;4;5;6;9\right\}\)

Giả sử a₈ = 0 thì số a₄a₅a₆a₇a₈ chia hết cho 10³ = 1000; hay a₇ phải bằng 0; loại.

Nếu a₈ = 1 thì xét \(23\le\overline{a_7a_8}\le46\) có số 31 không thỏa mãn.

Tương tự xét các trường hợp còn lại khi đã có giới hạn \(23\le\overline{a_7a_8}\le46\).

Bài 1 :

Không đủ dữ kiện.

Ngộ nhỡ m = n = 2 thì điều phải chứng minh là sai.

giúp tớ với nhé!

Bài 5:

Vì số cần tìm nhỏ nhất nên ta lần lượt thử chọn với các giá trị số nhỏ nhất.
- Giả sử số tự nhiên có dạng 11111a
=> 111110 + a chia hết cho 1987. Vì 111110 chia 1987 dư 1825

=> a chia 1987 dư 162 ( vô lí - 162 > a).
- Giả sử số tự nhiên có dạng 11111ab
=> 1111100 + ab chia hết cho 1987. Vì 1111100 chia 1987 dư 367=> ab chia 1987 dư 1620 ( vô lí - 1620 > ab)
- Giả sử số tự nhiên có dạng 11111abc
=> 11111000 + abc chia hết cho 1987. Vì 11111000 chia 1987 dư 1683

=> abc chia 1987 dư 304. Mà abc nhỏ nhất

=> abc = 304
Vậy số tự nhiên là 11111304

a, \(\overline{357a}⋮2\Leftrightarrow a=0;2;4;6;8\) (thỏa mãn)
b, \(\overline{429a}⋮5\Leftrightarrow a=0;5\) (thỏa mãn)
c, \(\overline{3a51a}⋮9\Leftrightarrow\left(3+a+5+1+a\right)⋮9\)
<=> 9 + 2a \(⋮9\)
<=> 2a \(⋮9\)
Mà a là chữ số => a = 0; 9 (thỏa mãn)
d, \(\overline{4a231}⋮3\Leftrightarrow\left(4+a+2+3+1\right)⋮3\)
<=> 10 + a \(⋮3\)
<=> 9 + 1 + a \(⋮3\)
<=> 1 + a \(⋮3\)
Mà a là chữ số => a = 2; 5; 8 (thỏa mãn)
e, \(\overline{5a37a}⋮10\Rightarrow\overline{5a37a}⋮5\Rightarrow a=0;5\)
Mà \(\overline{5a37a}⋮2\Rightarrow a=0\) (thỏa mãn)
@Đỗ Hàn Thục Nhi

không hiểu

1/

a/ 11abc = 10925 + 75 + abc = 25.437 + (75 + abc)

Để 11abc chia hết cho 437 ta có 10925 = 25.437 chia hết cho 437 => 75 + abc phải chia hết cho 437

=> (75 + abc) = {437; 2.437=874} => abc = {362; 799}

b/ làm tương tự

2/ 

a/ \(\frac{6n+1}{5n+1}\) là phân số tối giản khi 6n+1 và 5n+1 có USC là 1

Gọi d là USC của 6n+1 và 5n+1

=> 6n+1 chia hết cho d => 5.(6n+1)=30n+5 chia hết cho d

5n+1 chai hết cho d => 6.(5n+1) =30n+6 chia hết cho d

=> (30n+6) - (30n+5) = 1 chia hết cho d => d=1

=> \(\frac{6n+1}{5n+1}\) là phân số tối giản

bài 2 : 

a, abcdeg = ab.10000 + cd.100 + eg

             = ab.9999 + ab + cd.99 + cd + eg

             = (ab.9999 + cd.99) + (ab+cd+eg)

vì 9999 chia hết cho 11 => ab.9999 chia hết cho 11    (1)

    99 chia hết cho 11 => cd.99 chia hết cho 11          (2)

    theo đề bài (ab+cd+eg) chi hết cho 11                 (3)

(1)(2)(3) => abcdeg chia hết cho 11

phần b thì bạn chứng minh 10^28 + 8 chi hết cho 8 và 9 là được

mình không muốn vào math nhiều lên mình bỏ dấu gạch trên đầu nhá

vì a là số chính phương => \(a\in\left\{1;4;9\right\}\)

+Nếu a=1 => ad=16 => d=6=> \(c\in\left\{1;3\right\}\)

             -Nếu c=1 => abcd=1b16 => vô lý vì không có số chính phương nào như vậy

             -Nếu c=3 => abcd=1b36 => b=9

+Nếu a=4 => ad=49 => d=9 => c=4 => abcd=4b49 (loại)

+Nếu a=9 => ad=9d (vô lý)

934+34+49= 1037                                                               =)) abc= 934 ^^