Giả sử M nằm giữa B and D 

a) 
tam giác IED có:

\(\hept{\begin{cases}IE=ID=\frac{1}{2}AM\\\widehat{EID}=2.\widehat{BAD}=60^0\end{cases}}\)

=> TAM GIÁC IED là tam giác đều (1)
Chứng minh tương tự ta được tam giác IFD là tam giác đều (2).

Từ (1) và (2) suy ra DEIF là hình thoi.

b) Vì
tam giác ABC đều nên trực tâm H củng là trọng tâm. Suy ra:
AH = 2.HD
Gọi P là trung điểm của AH
=> AP = PH = HD. Suy ra IP, KH thứ tự là đường trung bình của các tam giác AMH và DIP

=> MH // IP và KH // IP, 

=> M , K , H thẳng hàng 

c)

Vì tam giac  EDK vuông tại K nên ta có: EF =2.EK = 2. ED.sinKDE =\(\sqrt{3}\).DE do đó EF đạt GTNN

=>DE đạt GTNN => \(DE\perp AB=>M\)trùng zs  D ( Có thể dùng đ.lý pitago để tính EF theo DE ).

d) ta có diện tích DEIF=\(\frac{1}{2}DI.EF\)theo DE

e)e) Tìm quỹ tích của K thông qua quỹ tích của I.

bài này dài lắm . nên gợi ý như thế thôi . cần hỏi chỗ nào ib riêng cho mình ^^

a) CMR: Tứ giác DEIF là hình thoi:

Xét \(\Delta\)ADM: ^ADM=90⁰, I là trung điểm AM => DI=AI=IM (1)

Xét \(\Delta\)AEM: ^AEM=90⁰, I là trung điểm AM => EI=AI=IM (2)

Từ (1) và (2) => DI=EI (*)

Ta có: DI=AI (cmt) => \(\Delta\)AID cân tại I => ^IAD=^IDA hay ^IAD+^IDA=2.^IAD (3)

Tường tự: ^IAE=^IEA => ^IAE+^IEA=2.^IAE (4)

Nhận thấy: ^DIM là góc ngoài \(\Delta\)AID => ^DIM=^IAD+^IDA, thay (3) vào ta đc:

^DIM=2.^IAD (5)

^EIM là góc ngoài \(\Delta\)AIE = >^EIM=^IAE+^IEA, thay (4) vào ta đc:

^EIM=2.^IAE (6)

Từ (5) và (6) => ^DIM+^EIM=2.^IAD+2.^IAE => ^DIE=2.(^IAD+^IAE)=2.^DAE.

Mà ^DAE=^BAC/2=60⁰/2=30⁰ => ^DIE=2.30⁰=60⁰ (**)

Từ (*) và (**) => \(\Delta\)DIE là tam giác đều.

Chứng minh tương tự ta cũng có \(\Delta\)DIF đều => Tứ giác DEIF là hình thoi (đpcm).

b) Đề sai, mình không thấy M,H,K thẳng hàng

Sửa: CMR MH,DI.EF đồng quy.

Gọi S là trung điểm của AH. O là giao điểm của DI và EF (3*)

Xét \(\Delta\)AMH: I là trung điểm AM, S là trung điểm AH

=> IS là đường trung bình \(\Delta\)AMH => IS//MH (7)

Do tứ giác DEIF là hình thoi (cmt) => DI và EF cắt nhau tại trg điểm mỗi đường

=> O là trung điểm của DI và EF.

Xét \(\Delta\)SID: O là trung điểm DI, H là trung điểm SD (H là trực tâm và cũng là trọng tâm \(\Delta\)ABC)

=> OH là đường trung bình \(\Delta\)SID => OH//IS (8)

Từ (7) và (8) => M,O,H thẳng hàng (4*)

Từ (3*) và (4*) => DI,EF,MH đồng quy (đpcm).

Mình ghi nhầm, ID cắt EF tại k

Cho mk hỏi: Tại sao khi xét tg ADM có ^ADM= 90^o, I là TĐ của AM => AI= IM= ID vậy bn??

Dùng hình của bạn Ngọc nhé

a) \(\Delta ABC\)đều có \(\widehat{BAC}=60^0;\)đường cao AD cũng là phân giác và trực tâm H cũng là trọng tâm

I là trung điểm của cạnh huyền chung AM của các tam giác vuông \(\Delta AEM,\Delta AFM,\Delta ADM\)nên \(IA=IE=ID=IF=\frac{AM}{2}\)(1)

\(\widehat{EIM}\)là góc ngoài của \(\Delta AIE\)cân tại I nên \(\widehat{EIM}=2\widehat{BAM}\). Tương tự, \(\widehat{MID}=2\widehat{MAD};\widehat{MIF}=2\widehat{MAC}\)

\(\widehat{EID}=\widehat{EIM}+\widehat{MID}=2\left(\widehat{BAM}+\widehat{MAD}\right)=2\widehat{BAD}=\widehat{BAC}=60^0\)

\(\widehat{EIF}=\widehat{EIM}+\widehat{MIF}=2\left(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}\right)=2.60^0=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DIF}=120^0-60^0=60^0\)

\(\Delta EDI\)cân tại I có \(\widehat{EID}=60^0\)nên là tam giác đều, suy ra EI = ED (2)

\(\Delta FDI\)cân tại I có \(\widehat{DIF}=60^0\)nên là tam giác đều, suy ra FI = FD (3)

(1),(2),(3) => IE = ED = DF = IF => DEIF là hình thoi

b) Gọi P là trung điểm AH thì \(AP=PH=\frac{AH}{2}=HD\)

Cho ID cắt EF tại K thì K là trung điểm ID (tính chất hình thoi ABCD)

\(\Delta AMH\)có IP là đường trung bình nên IP // MH (4)

\(\Delta DPI\)có KH là đường trung bình nên IP // KH (5)

(4),(5) => M,K,H thẳng hàng. Vậy MH, ID, EF đồng quy tại K

d ở dưới

bài 3

Gọi giao điểm của EM với AC là K' ( K' \(\in\)AC )

Ta sẽ chứng minh K' \(\equiv\)K 

Thật vậy, gọi giao điểm AC và MN là O ; K'N cắt DC tại I 

dễ thấy O là trung điểm MN

do MN // EI \(\Rightarrow\frac{MO}{EC}=\frac{K'O}{K'C}=\frac{ON}{CI}\)\(\Rightarrow EC=CI\)

\(\Delta NEI\)có NC là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại N

\(\Rightarrow\)NC là đường phân giác của \(\widehat{ENI}\)

Mà \(\widehat{K'NE}+\widehat{ENI}=180^o\) có \(NM\perp NC\)nên NM là  đường phân giác \(\widehat{K'NE}\)( 1 )

mặt khác : NM là đường phân giác \(\widehat{KNE}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(K'\equiv K\)hay A,K,C thẳng hàng

Trên tia đối tia HC lấy D sao cho HD = HC

Tứ giác DECF có DH = HC ; EH = HF nên là hình bình hành

\(\Rightarrow\)DE // CF 

\(\Rightarrow\)DE \(\perp\)CH ; BE \(\perp\)DH

\(\Rightarrow\)E là trực tâm tam giác DBH \(\Rightarrow HE\perp BD\)

Xét \(\Delta DBC\)có DH = HC ; BM = MC nên MH là đường trung bình 

\(\Rightarrow\)MH // BD

\(\Rightarrow\)MH \(\perp EF\)

bài 5 :

gọi L là giao điểm của CI và NK

từ \(S_{ANI}=S_{IJK}\) \(\Rightarrow S_{ANI}+S_{AIJ}=S_{IJK}+S_{AIJ}\Rightarrow S_{NAJ}=S_{KAJ}\)

Ta nhận thấy \(\Delta NAJ\)và \(\Delta KAJ\)có chung cạnh AJ nên khoảng cách từ N và K tới AJ bằng nhau 

\(\Rightarrow NK//AJ\)

xét hình thang AJKN có C là giao điểm của AN và JK, I là giao điểm của AK và JN 

theo bổ đề hình thang, CI cắt NK tại trung điểm của NK hay L là trung điểm của NK

Suy ra khoảng cách từ N đến CI bằng khoảng cách từ K đến CI ( cái này bạn tự c/m bằng cách hạ đường cao xuống xong xét tam giác )

\(\Rightarrow S_{CIN}=S_{CIK}\) 

Mà \(S_{AIN}=S_{CKM}\)\(\Rightarrow S_{CIM}=S_{CIA}\Rightarrow AI=IM\) 

\(\Rightarrow S_{BIA}=S_{BIM}\)

\(\Leftrightarrow S_{BPJ}+S_{APJI}=S_{IJK}+S_{BJKM}\Leftrightarrow S_{APJI}=S_{BJKM}\)

tương tự : ....

xong rồi suy ra 3 tam giác bằng nhau

  a) Các tam giác vuông AEM và ADM có EI và DI là trung tuyến ứng với AM nên 
=> EI = DI ( = ½ AM) 
=> Tam giác EID cân tại I 
Lại có các tam giác AEI và ADI cân tại I nên: 
^EIM = 2^EAI và ^MID = 2^IAD 
=> ^EID = ^EIM + ^MID = 2(^EAI + ^IAD) = 2^EAD = 2. 30 = 60 độ 
(Vì AD là đường cao nên là phan giác ^A) 
Tam giác EID cân lại có ^EID = 60 độ nên đều 
Tương tự tam giác IFD đều nên: EI = IF = FD = DE => Tứ giác DEIF là hình thoi 
b) Gọi O là giao EF và DI và K là trung điểm AH, ta có IK là trng bình tam giác AMH và OH là trung bình tam giác AID. 
=> HO//IK và HM//IK 
=> Tia HO và HM trùng nhau hay M, H, O thẳng hàng => MH, ID, EF đồng quy tại O 

Tam giác AEM vuông tại I có EI là trung tuyến 
=> EI = IA = ½ AM 
=> Tam giác EIA cân tại I 
=> ^EAI = ^AEI 
=> ^MIE = ^EAI + ^AEI = 2.^EAI 

C/m tương tự, ta có : 
DI = ½ AM, ^MID=2.^DAI 
FI = ½ AM, ^MIF=2.^FAI 

Tam giác EID cân tại I (vì EI=DI=½AM) 
mà ^EID=^MIE+^MID=2.^EAI+2.^DAI=2.(^EAI+^DA... 
=> Tam giác EID đều 
=> EI = ED = DI (1) 

Tam giác DIF cân tại I (vì DI=FI=½AM) 
mà ^FID=^MIF-^MID=2.^FAI-2.^DAI=2.(^FAI-^DA... 
=> Tam giác IDF đều 
=> FI = FD = ID (2) 

Từ (1) và (2) suy ra EI=ED=FI=FD (=ID) 
=> EIFD là hình thoi 
=> KI=KD 

Gọi N là trung điểm của AH 
Tam giác ABC đều có có H là trực tâm 
=> H là trọng tâm 
=> AN = HN = HD 

Tam giác AMH có AI=MI, AN=HN 
=> IN là đường trung bình 
=> IN // MH (3) 

Tam giác IAN có KI=KD (cmt), DH=NH 
=> KH là đường trung bình 
=> KH // IN (4) 

a) Các tam giác vuông AEM và ADM có EI và DI là trung tuyến ứng với AM nên 
=> EI = DI ( = ½ AM) 
=> Tam giác EID cân tại I 
Lại có các tam giác AEI và ADI cân tại I nên: 
^EIM = 2^EAI và ^MID = 2^IAD 
=> ^EID = ^EIM + ^MID = 2(^EAI + ^IAD) = 2^EAD = 2. 30 = 60 độ 
(Vì AD là đường cao nên là phan giác ^A) 
Tam giác EID cân lại có ^EID = 60 độ nên đều 
Tương tự tam giác IFD đều nên: EI = IF = FD = DE => Tứ giác DEIF là hình thoi 
b) Gọi O là giao EF và DI và K là trung điểm AH, ta có IK là trng bình tam giác AMH và OH là trung bình tam giác AID. 
=> HO//IK và HM//IK 
=> Tia HO và HM trùng nhau hay M, H, O thẳng hàng => MH, ID, EF đồng quy tại O 

tam giác can

OH là trung bình của tam giác AID ?

ta mới chỉ có OI=OD (DEIF là hình thoi) còn HK=HD ta chưa biết mà. làm sao ra chỉ mình với