Lời giải:
$x,y,z>0$ thì $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ mới xác định.

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$. Thay vào pt $(2)$:

$x^3=x^2+x+2$

$\Leftrightarrow x^3-x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow x^2(x-2)+x(x-2)+(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x-2)=0$
Dễ thấy $x^2+x+1>0$ với mọi $x>0$ nên $x-2=0$

$\Rightarrow x=2$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y,z)=(2,2,2)$

b) Áp dụng bđt Svac-xơ:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{16}{z}\ge\dfrac{\left(1+3+4\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{64}{4}=16>9\)

=> hpt vô nghiệm

c) Ở đây x,y,z là các số thực dương

Áp dụng cosi: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{3}=1\)

Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại

Với pt sau:

Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm

Với \(x;y;z\ne0\)

Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)

Lời giải:

$\left\{\begin{matrix}x^2(y-z)=\frac{-5}{3} (1)\\ y^2(z-x)=3 (2)\\ z^2(x-y)=\frac{1}{3} (3)\end{matrix}\right.$

Ta có "vòng đặc biệt" này: $(x^2y^2-z^2x^2)+(y^2z^2-x^2y^2)+(z^2x^2-y^2z^2)=0$.

Từ đó, ta lấy: $(1).(y+z)+(2).(z+x)+(3).(x+y)=0$, ta được: $y-z=\frac{5}{2}x$.

Thế vào phương trình đầu ta được: $x=-\sqrt[3]{\frac{2}{3}},\ y=-\sqrt[3]{18},\ z=-\frac{1}{\sqrt[3]{12}}$.