Tham khảo:

Cho a≠b≠c, a+b≠c và c2+2ab-2ac-2bc=0 Hãy rút gọn \(B=\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}\) - Hoc24

\(\dfrac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}\)

\(=\dfrac{a^2+a^2-2ac+c^2}{b^2+b^2-2bc+c^2}\)

\(=\dfrac{2a^2-2ac+c^2}{2b^2-2bc+c^2}\)

Câu hỏi tương tự: Câu hỏi của Đinh Tuấn Việt - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

ta có : a+b+c=0=>a+b=-c ; b+c=-a ; a+c=-b 

ta có: M= \(\frac{2ab}{a^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)}+\frac{2bc}{b^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)}+\frac{2ca}{c^2+\left(a+b\right)\left(a-b\right)}\)

M=\(\frac{2ab}{a^2-a\left(b-c\right)}+\frac{2bc}{b^2-b\left(c-a\right)}+\frac{2ca}{c^2-c\left(a-b\right)}\)

M=\(\frac{2ab}{a\left(a-b+c\right)}+\frac{2bc}{b\left(b-c+a\right)}+\frac{2ca}{c\left(c-a+b\right)}\)

M=\(\frac{2ab}{-ab+\left(a+c\right)}+\frac{2bc}{-bc+\left(a+b\right)}+\frac{2ac}{-ac+\left(b+c\right)}\)

M=\(\frac{2ab}{-2ab}+\frac{2bc}{-2bc}+\frac{2ca}{-2ca}\)

M=-1-1-1=-3

Vậy với a+b+c=0 thì M=-3

biến đổi vế trái :  a. \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+B^2=VP\)

                          b. \(\left(a-b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=VP\)

                          c. \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=VP\)

                          xem 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

a)\(=\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+ab+ab+b^2\)

\(=a^2+2ab+b^2\)

b)\(\left(a-b\right)^3=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a-b\right)=\left(a^2-ab-ab+b^2\right)\left(a-b\right)\)

\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)\left(a-b\right)\)

\(=a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3\)

\(=a^3-3a^2b-3ab^2-b^3\)

c)\(\left(a+b+c\right)^2=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)\)

\(=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+cb+c^2\)

\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

biến đổi VT : a. \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2=VP\)

                    b. \(\left(a-b\right)^3=a^3-3a^2+3ab^2-b^3=VP\)

                    c. \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

                    xem 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Nhân khai triển tử và mẫu của B, thấy ab + bc + ca thì thay bằng 1

ÁP dụng BĐT AM-Gm  ta có: 

\(Σ\frac{a^2}{\left(ab+2\right)\left(2ab+1\right)}\ge\frac{4}{9}\cdotΣ\frac{a^2}{\left(ab+1\right)^2}\)

ĐẶt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\) thì cần cm

\(Σ\frac{a^2}{\left(ab+1\right)^2}=Σ\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)

\(Σ\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\)

Theo C-S \(Σ\frac{xz}{y\left(x+z\right)}=\frac{\left(xz\right)^2}{xyz\left(x+z\right)}\ge\frac{\left(Σxy\right)^2}{2xy\left(Σx\right)}\ge\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{3}\cdot\left(Σ\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

Đúng hay ta có ĐPCM xyar ra khi a=b=c=1