Ta có:

100:3 dư 1

=>100²⁰⁰⁸:3 dư 1

Mà 1+2=3 chia hết cho 3

=>100²⁰⁰⁸+2 chia hết cho 3

=>100²⁰⁰⁸+2/3 là số nguyên

Ta có:

100:9 dư 1

=>100²⁰⁰⁹:9 dư 1

Mà 1+17=18 chia hết cho 9

=>100²⁰⁰⁹+17 chia hết cho 9

=>100²⁰⁰⁹+17/9 là số nguyên.

=>100²⁰⁰⁸+2/3-100²⁰⁰⁹+17/9 là số nguyên.

Có:

A=(100^2008+2)/3=(1...00...0+2)/3

                      =1...00...2/3

Mà 1...00...2 chia hết cho 3 => A nguyên

B=(100^2009+17)/9=(1...00...0+17)/9

                            =1...00...17/9

Mà 1...00...17 chia hết cho 9 =>B nguyên

A - B (A;B nguyên) =>A - B nguyên.

Đơn giản vậy thôi bạn. Nhớ like nhé !!!!!!!!!!!!!!!!

khon phet

Để hiệu trên là số nguyên thì \(\frac{100^{2008}+2}{3}và\frac{100^{2009}+17}{9}\)là số nguyên.

*CHững minh 1

Ta có:

100^2008+2=100...000000000+2

                    |2010 chữ số 0|

=100..........00002

 |2009 chữ số 0|

=> Tổng các chữ số của số trên là:1+0.2019+2=3 chia hết cho 3

=> Só trên chia hết cho 3

=> \(\frac{100^{2008}+2}{3}\)là số nguyên

Chứng minh 2:

Ta có:

100^2009+17=100...000000000+17

                     |2011 chữ số 0|

=100.......00017

 |2009 chữ số 0|

Tổng các chữ số của số trên là:

1+0.2009+1+7=9 chia hết cho 9

=>\(\frac{100^{2009}+17}{9}\)chia hết cho 9

=>\(\frac{100^{2009}+17}{9}\)là sô nguyên

Vậy hiệu trên là số nguyên

1.

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{99}}+\frac{1}{2^{100}}+\frac{1}{2^{100}}\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}+\left(\frac{1}{2^{100}}+\frac{1}{2^{100}}\right)\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}+\frac{1}{2^{99}}\)

cứ làm như vậy ta được :

\(=1+1=2\)

2. Ta có :

\(\frac{2008+2009}{2009+2010}=\frac{2008}{2009+2010}+\frac{2009}{2009+2010}\)

vì \(\frac{2008}{2009}>\frac{2008}{2009+2010}\); \(\frac{2009}{2010}>\frac{2009}{2009+2010}\)

\(\Rightarrow\frac{2008}{2009}+\frac{2009}{2010}>\frac{2008+2009}{2009+2010}\)

Xét tử của số bị trừ ta có 10²⁰⁰⁸+2=100...0+2=100...002(có 2007 chữ số 0)

Mà 1+0+0+...+0+0+2=3\(⋮\)3(có 2007 chữ số 0)

=>Phân số \(\frac{10^{2008}+2}{3}\) là 1 số nguyên(1)

Xét tử của số trừ ta có 10²⁰⁰⁹+17=100...0+17=100...0017(có 2007 chữ số 0)

Mà 1+0+0+...+0+0+1+7=9\(⋮\)9(có 2007 chữ số 0)

=>Phân số \(\frac{10^{2009}+17}{9}\) là 1 số nguyên(2)

Từ (1) và (2)=>\(\frac{10^{2008}+2}{3}\)-\(\frac{10^{2009}+17}{9}\) là 1 số nguyên

Mình làm hơi tắt đáng lẽ từ dòng thứ 2 và 6 cậu phải suy ra 2 tử trên \(⋮\)3,9

`A=\sqrt{1+2008^2+2008^2/2009^2}+2008/2009`

`=\sqrt{1+2008^2+2.2008+2008^2/2009^2-2.2008}+2008/2009`

`=\sqrt{(2008+1)^2-2.2008+2008^2/2009^2}+2008/2009`

`=\sqrt{2009-2.2008/2009*2009+2008^2/2009^2}+2008/2009`

`=\sqrt{(2009-2008/2009)^2}+2008/2009`

`=|2009-2008/2009|+2008/2009`

`=2009-2008/2009+2008/2009`

`=2009` là 1 số tự nhiên