. Cho bốn số nguyên dương x, y, u, v sao cho x> y> u>v
Chứng minh rằng \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{u}{v}\) thì \(x+v>y+u\)
- Chi tiết nha. <3
\(\dfrac{x}{9}-\dfrac{3}{y}=\dfrac{1}{18}\)Tìm x,y nha các bạn. Chi tiết cực kì nha các bạn. Ai có câu trả lời đúng hãy gửi vào tối nay
Câu 1: Cho x, y, z là các số ≠ 0 và x+\(\dfrac{1}{y}\) =y+\(\dfrac{1}{z}\) =z+\(\dfrac{1}{x}\) . Chứng minh rằng
Hoặc x=y=z, hoặc x2y2z2=1.
Câu 2: Cho abc ≠ 0 và a+b+c ≠ 0. Tìm x, biết: \(\dfrac{a+b-x}{c}\) +\(\dfrac{a+c-x}{b}\) +\(\dfrac{b+c-x}{a}\) +\(\dfrac{4x}{a+b+c}\) =1
Câu V. (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương $x, \, y, \, z$ thay đổi thỏa mãn điều kiện $x y+y z+z x=3 x y z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+z^2}+\dfrac{z}{1+x^2}+\dfrac{3}{2} x y z$.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số thực dương \(xy,yz,zx\), ta có \(xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\). Do \(xy+yz+zx=3xyz\) nên\(3xyz\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\) \(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\left(\sqrt[3]{xyz}-1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}\ge1\) \(\Leftrightarrow xyz\ge1\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=yz=zx\\xy+yz+zx=3xyz\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta có \(\dfrac{x}{1+y^2}=\dfrac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\dfrac{xy^2}{2y}\)\(=x-\dfrac{xy}{2}\)
Tương tự, ta có \(\dfrac{y}{1+z^2}\ge y-\dfrac{yz}{2}\) và \(\dfrac{z}{1+x^2}\ge z-\dfrac{zx}{2}\). Từ đó suy ra \(\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+z^2}+\dfrac{z}{1+x^2}\ge x+y+z-\dfrac{xy+yz+zx}{2}\) \(=x+y+z-\dfrac{3}{2}xyz\) . Từ đây suy ra \(Q\ge x+y+z\ge\sqrt[3]{xyz}\ge1\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=z=1\).
Vậy GTNN của \(Q\) là \(1\) đạt được khi \(x=y=z=1\)
Dạ thưa thầy, chỗ kia con sửa là \(Q\ge x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\ge3\) ạ. GTNN của Q là 3 khi \(x=y=z=1\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn \(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{3}\)và x2+y2-z2=585.Khi đó giá trị của x+y+z bằng bao nhiêu ?
Đặt \(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{3}=k\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=5k\\y=7k\\z=3k\end{matrix}\right.\)
Mà x2+y2-z2 = 585 => 25k2 + 49k2 - 9k2 = 65k2 => k2 = 9 => k = \(\pm\)3
Với k = 3 => \(\left\{{}\begin{matrix}x=15\\y=21\\z=9\end{matrix}\right.\) hay x+y+z = 45
Với k = -3 => \(\left\{{}\begin{matrix}x=-15\\y=-21\\x=-9\end{matrix}\right.\)hay x+y+z = -45
Đây là một số bất đẳng thức trích từ một số đề thi vào chuyên,rất mong nhận được lời giải từ mọi người :
Bài 1:Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=1
Tìm Max Q= \(\dfrac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{y+zx}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\)
Bài 2:Cho x,y,z>0 thỏa mãn :x+y+z=1
Chứng minh:\(\dfrac{1-x^2}{x+yz}+\dfrac{1-y^2}{y+zx}+\dfrac{1-z^2}{z+xy}\ge6\)
Bài 3:Cho x,y,z>8
Tìm Min P=\(\dfrac{x}{\sqrt{y+z}-4}+\dfrac{y}{\sqrt{z+x}-4}+\dfrac{z}{\sqrt{x+y}-4}\)
Bài 4: Cho a,b,c>0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=1
CMR: ab+bc+ca\(\le\dfrac{3}{4}\)
Bài 1:
Vì $x+y+z=1$ nên:
\(Q=\frac{x}{x+\sqrt{x(x+y+z)+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y(x+y+z)+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{z(x+y+z)+xy}}\)
\(Q=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\sqrt{(x+y)(x+z)}=\sqrt{(x+y)(z+x)}\geq \sqrt{(\sqrt{xz}+\sqrt{xy})^2}=\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:
\(Q\leq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+ \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+ \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
Vậy $Q$ max bằng $1$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Bài 2:
Vì $x+y+z=1$ nên:
\(\text{VT}=\frac{1-x^2}{x(x+y+z)+yz}+\frac{1-y^2}{y(x+y+z)+xz}+\frac{1-z^2}{z(x+y+z)+xy}\)
\(\text{VT}=\frac{(x+y+z)^2-x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{(x+y+z)^2-y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{(x+y+z)^2-z^2}{(z+x)(z+y)}\)
\(\text{VT}=\frac{(y+z)[(x+y)+(x+z)]}{(x+y)(x+z)}+\frac{(x+z)[(y+z)+(y+x)]}{(y+z)(y+x)}+\frac{(x+y)[(z+x)+(z+y)]}{(z+x)(z+y)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\geq \frac{2(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{(x+y)(x+z)}+\frac{2(x+z)\sqrt{(y+z)(y+x)}}{(y+z)(y+x)}+\frac{2(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}}{(z+x)(z+y)}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 2\underbrace{\left(\frac{y+z}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{x+z}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{x+y}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\right)}_{M}\)
Tiếp tục AM-GM cho 3 số trong ngoặc lớn, suy ra \(M\geq 3\)
Do đó: \(\text{VT}\geq 2.3=6\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $3x=3y=3z=1$
Bài 4:
Ta có một đẳng thức quen thuộc là:
\(1=(a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc(*)\)
Mà theo AM-GM:
\((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{ab.bc.ac}=9abc\)
\(\Rightarrow abc\leq \frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow 1\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)\)
Theo tính chất quen thuộc của BĐT AM-GM:
\((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}\)
Do đó:
\(1\geq \frac{8}{9}\sqrt{3(ab+bc+ac)^3}\)
\(\Rightarrow (ab+bc+ac)^3\leq \frac{27}{64}\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{3}{4}\)
Ta có đpcm
câu 1: Cho xy =1 và x> y . Chứng minh \(\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
câu 2:
Cho hai số a;b thỏa mãn a + b = 1
CMR : \(a^3+b^3+ab\ge\dfrac{1}{2}\)
Bài này là tớ đăg lên ! Nhưg hôm nay thầy tớ giải rồi! Tớ đăg lời giải lên đây cho mấy bạn tham khảo ạ! ko kiếm GP nhá!
Câu 1 :
Vì x > y \(\Rightarrow\) \(x-y>0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}.\left(x-y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y\ge0\)
Vì \(xy=1\Rightarrow x^2+y^2+\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-2\sqrt{2}\right)^2\ge0\)
Đúng với mọi x; y
Câu 2:
\(a^3+b^3+ab\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^3\right)+ab-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2+ab-\dfrac{1}{2}\ge0\) ( vì a+b = 1 )
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)
Vì \(a+b=1\Rightarrow b=1-a\)
\(\Rightarrow a^2+\left(1-a\right)^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2a+a^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2a+\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge0\)
Đúng với mọi a;b
Dấu "=" xảy ra khi
\(2a-1=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}\)
Câu 1 : Tìm x , y biết \(\dfrac{x^2+y^2}{10}=\dfrac{x^2-2y^2}{7}\) và \(x^4.y^4=81\)
Câu 2 : Cho \(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) và \(a,b,c\ne0;b\ne c\) . Chứng minh \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\)
Gọi x, y là các số nguyên dương sao cho \(A=\dfrac{x^4+y^4}{15}\) cũng là số nguyên dương. Chứng minh rằng : x và y đều chia hết cho 3 và 5. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
cho x, y là các số dương và x + y = 1. Chứng minh rằng : P = \(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\ge\sqrt{17}\)
HELP ME!!!!!
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}=\frac{x+y}{xy}\sqrt{1+x^2y^2}=\frac{\sqrt{1+x^2y^2}}{xy}\)
Giờ thì biến đổi tương đương thôi. Ta có:
\(\text{VT}\geq \sqrt{17}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{1+x^2y^2}}{xy}\geq \sqrt{17}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1+x^2y^2}{x^2y^2}\geq 17\) (do \(x,y\) dương)
\(\Leftrightarrow 1+x^2y^2\geq 17x^2y^2\Leftrightarrow 1\geq 16x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow (1-4x)(1+4xy)\geq 0\)
BĐT trên luôn đúng do $x,y>0$ và theo BĐT AM-GM thì:
\(1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\Rightarrow 1-4xy\geq 0\)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)