Cho x,y là số thực dương.Chứng minh rằng :
\(\left(x+y\right)^2+\dfrac{x+y}{2}\ge2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}\)
Giúp mk nha mn
Cho x,y là 2 số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x+y}{\sqrt{3x\left(2x+y\right)}+\sqrt{3y\left(2y+x\right)}}\) .
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(\sqrt{3x\left(2x+y\right)}+\sqrt{3y\left(2y+x\right)}\le\frac{3x+2x+y}{2}+\frac{3y+2y+x}{2}=\frac{6\left(x+y\right)}{2}=3\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y}{3\left(x+y\right)}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y
1/Cho các số thực dương. Chứng minh:\(ax+by+cz+2\sqrt{\left(ab+bc+ca\right)\left(xy+yz+zx\right)}\le\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\)
2/Cho 3 số thực tùy ý.Chứng minh: \(2\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\le4xyz+\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}\)
3/ Với các số thực dương. Chứng minh : \(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge1\)
4/ Với cácsố thực dương thỏa abc=1.Chứng minh:\(\left(1+\frac{2x}{y}\right)\left(1+\frac{2y}{z}\right)\left(1+\frac{2z}{x}\right)\ge\left(2+x\right)\left(2+y\right)\left(2+z\right)\)
Bai 1: Ap dung BDT Bunhiacopxki ta co:
\(ax+by+cz+2\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+xz)} \)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)} + \sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}+\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}\)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)}\)
\(= (a+b+c)(x+y+z)\)
=> \(Q.E.D\)
Tiep bai 4:Ta co:
BDT <=> \((2+y^2z)(2+z^2x)(2+x^2y)≥(2+x)(2+y)(2+z)\)
Sau khi khai trien con: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)+x^2z+z^2y+y^2x≥xy+yz+zx+2x+2y+2z \)
Ap dung BDT Cosi ta co:
\(z^2x+x ≥ 2zx \) <=> \(z^2x≥2zx-x\)
Lam tuong tu ta co: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)≥4xy+4yz+4zx-2x-2y-2z \)(1)
\(x^2z+{1\over z}≥2x \) <=> \(x^2z≥2x-xy \) (do xyz=1)
Lam tuong tu ta co: \(x^2z+z^2y+y^2x≥ 2y+2z+2x-xy-yz-zx\)(2)
Cong (1) voi (2) ta co: VT\(≥ 3(xy+yz+zx)\)(*)
Voi cach lam tuong tu ta cung duoc: VT\(≥ 3(x+y+z) \)(**)
Tu (*) va (**) suy ra : \(3 \)VT \(≥ 6(x+y+z)+3(xy+yz+zx) \)
<=> VT \(≥ 2(x+y+z)+xy+yz+zx\)
=> \(Q.E.D\)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn: \(\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S=x^2+3xy-2y^2-4y+5\)
Các cậu giúp hộ tớ ạ~
Cho x, y , z là các số thực dương thoả mãn \(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}=1\)
Chứng minh rằng \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{xyz}\)
Đặt \(\dfrac{1}{x+1}=a,\dfrac{1}{y+1}=b,\dfrac{1}{z+1}=c\Rightarrow a,b,c>0;a+b+c=1.\)
\(x=\dfrac{1}{a}-1\)
Cần chứng minh: \(\sum\sqrt{\dfrac{1}{a}-1}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}-1\right)\left(\dfrac{1}{b}-1\right)\left(\dfrac{1}{c}-1\right)}\)
Hay \(\sum\sqrt{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+b+c}}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{\prod\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+b+c}\right)}\)
Hay là \(\sum\sqrt{\dfrac{b+c}{a\left(a+b+c\right)}}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{\prod\dfrac{\left(b+c\right)}{a\left(a+b+c\right)}}\)
Tương đương: \(\sum\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{\prod\dfrac{\left(b+c\right)}{a}}\)
\(\left[\sum\left(b+c\right)\left\{a+2\left(b+c\right)\right\}\right]\left[\sum\dfrac{1}{a\left\{a+2\left(b+c\right)\right\}}\right]\ge\left[\sum\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}\right]^2\)
Từ đây cần chứng minh:
\(\dfrac{9}{4}\prod\dfrac{\left(b+c\right)}{a}\ge\left[\sum\left(b+c\right)\left\{a+2\left(b+c\right)\right\}\right]\left[\sum\dfrac{1}{a\left\{a+2\left(b+c\right)\right\}}\right]\)
Còn lại bạn tự làm hoặc không để tối rảnh mình làm.
Do hoc24.vn không cho cập nhật câu trả lời nữa nên mình đăng tiếp:
Thực hiện thay thế \(\left(a,b,c\right)\rightarrow\left(s-a',s-b',s-c'\right)\) với $a',b',c'$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}a' + b' + c' = 2s\\a'b' + b'c' + c'a' = {s^2} + 4Rr + {r^2}\\a'b'c' = 4sRr\end{array} \right.$
Bất đẳng thức quy về:
$${\dfrac { \left( 4\,R-24\,r \right) {s}^{4}+r \left( 72\,{R}^{2}+41\,Rr+8\,{r}^{2} \right) {s}^{2}+2\,{r}^{2} \left( 4\,R+r \right) ^{3}}{r{s}^{2} \left( 4\,{s}^{2}+r \left( 8\,R+r \right) \right) }}\geqslant 0$$
\( \Leftrightarrow \left( {4{\mkern 1mu} R - 24{\mkern 1mu} r} \right){s^4} + r\left( {72{\mkern 1mu} {R^2} + 41{\mkern 1mu} Rr + 8{\mkern 1mu} {r^2}} \right){s^2} + 2{\mkern 1mu} {r^2}{\left( {4{\mkern 1mu} R + r} \right)^3} \geqslant 0\)
Hay là \({s^2}\left( {R - 2{\mkern 1mu} r} \right)\left( {9{\mkern 1mu} {r^2} + 4{\mkern 1mu} {s^2}} \right) + r\left[ {10{\mkern 1mu} {s^2}\left( {4{\mkern 1mu} {R^2} + 4{\mkern 1mu} Rr + 3{\mkern 1mu} {r^2} - {s^2}} \right) + \left( {8{\mkern 1mu} Rr + 2{\mkern 1mu} {r^2} + 2{\mkern 1mu} {s^2}} \right)\left( {16{\mkern 1mu} {R^2} + 8{\mkern 1mu} Rr + {r^2} - 3{\mkern 1mu} {s^2}} \right)} \right] \geqslant 0\)
Đây là điều hiển nhiên.
Ngoài ra phương pháp SOS, SS cũng có thể sử dụng ở đây.
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn \(x+y+z=xyz\) . Chứng minh rằng:
\(\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{9}{4}\)
giải giúp mik bt này vs mn!
1)\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+y^2+x=3\left(xy+1\right)+2y\\\dfrac{2}{3+\sqrt{2x-y}}+\dfrac{2}{3+\sqrt{4-5x}}=\dfrac{9}{2x-y+9}\end{matrix}\right.\)
2)\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3y+1\right)\sqrt{2xy+2y}=y\left(3x+4y+3\right)\\\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{2y-2}\right)\left(x-3+\sqrt{x^2+x+2y-4}\right)=4\end{matrix}\right.\)
3)\(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=y-\dfrac{1}{y}\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)
4)\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x-3}=\left(y^2+2011\right)\left(5-y\right)+\sqrt{y}\\y\left(y-x+2\right)=3x+3\end{matrix}\right.\)
5)\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+2x^2=x^2y+2xy\\2\sqrt{x^2-2y-1}+\sqrt[3]{y^3-14=x-2}\end{matrix}\right.\)
5,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+y\right)\left(x+2\right)=0\\2\sqrt{x^2-2y-1}+\sqrt[3]{y^3-14}=x-2\end{matrix}\right.\)
Thay từng TH rồi làm nha bạn
3,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(1+\frac{1}{xy}\right)=0\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)
thay nhá
Bài 1:ĐKXĐ: \(2x\ge y;4\ge5x;2x-y+9\ge0\)\(\Rightarrow2x\ge y;x\le\frac{4}{5}\Rightarrow y\le\frac{8}{5}\)
PT(1) \(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(2x-y+3\right)=0\)
+) Với y = x - 1 thay vào pt (2):
\(\frac{2}{3+\sqrt{x+1}}+\frac{2}{3+\sqrt{4-5x}}=\frac{9}{x+10}\) (ĐK: \(-1\le x\le\frac{4}{5}\))
Anh quy đồng lên đê, chắc cần vài con trâu đó:))
+) Với y = 2x + 3...
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn \(x+y+z=xyz\) . Chứng minh rằng:
\(\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{9}{4}\)
\(Gt\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
\(VT=\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)
\(=\frac{\frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}+\frac{\frac{1}{y}}{\sqrt{\frac{1}{y^2}+1}}+\frac{\frac{1}{z}}{\sqrt{\frac{1}{z^2}+1}}\)
\(=\frac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\sqrt{\frac{2a}{\left(a+b\right)}\cdot\frac{2a}{\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{2b}{\left(b+a\right)}\cdot\frac{b}{2\left(b+c\right)}}\)\(+\sqrt{\frac{2c}{\left(c+a\right)}\cdot\frac{c}{2\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{\frac{2a}{a+b}+\frac{2a}{a+c}+\frac{2b}{a+b}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}+\frac{2c}{c+a}+\frac{c}{2\left(c+b\right)}}{2}=\frac{9}{4}\)
Bài 1:
a,Cho ba số x,y,z thoả mãn yz>0 . Chứng minh rằng : \(x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)
b,Cho x,y,z thoả mãn x+y+z\(=3\). Chứng minh rằng:
\(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
\(B=\dfrac{\sqrt{x^2y^2}}{xy}+\dfrac{\sqrt{\left(x-y\right)^2x^2}}{x\left(x-y\right)}-\dfrac{\sqrt{\left(x-y\right)^2y^2}}{y\left(x-y\right)}\) với xy>0; x khác y
rút gọn các biểu thức
giúp mk vs ạ mk cần gấp
cảm ơn ạ
\(B=\dfrac{xy}{xy}+\dfrac{\left(x-y\right)x}{x\left(x-y\right)}-\dfrac{y\left(x-y\right)}{y\left(x-y\right)}=1\)