Trong mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với  \(\left(\alpha\right)\) tại A. Chứng minh rằng :

a) \(\widehat{ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)

b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BDC)

c) HK// BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mặt phẳng (P) đi qua A và vuông gcs với DB

Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Trong mặt phẳng (P), lấy hai đường thẳng cắt nhau a, b tuỳ ý. Gọi \(\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)\) là các mặt phẳng qua O và tương ứng vuông góc với a, b (H.7.19).

a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)\) cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa \(\Delta \) và (P).

Cho tam giác ABC. Gọi  \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và  \(\left(\beta\right)\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng  \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) cắt nhau và giao tuyến d của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC) ?

Trong mặt phẳng  \(\left(\alpha\right)\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng \(Ax\) vuông góc \(\left(\alpha\right)\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng  \(\left(\beta\right)\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C' , C'.

a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B', C', D' luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định

b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? Mệnh đề nào sai ?

a) Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với b

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau

c) Một mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và một đường thẳng a cùng vuông góc với đường thẳng b thì a // \(\left(\alpha\right)\)

d) Hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng \(\left(\gamma\right)\) thì  \(\left(\alpha\right)\) // \(\left(\beta\right)\)

e) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau

f) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song

Cho hai điểm \(A,B\) nằm ngoài mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và đường thẳng \(d\) cắt \(\left( \alpha  \right)\). Giả sử đường thẳng \(AB\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) tại điểm \(O\). Gọi \(A'\) và \(B'\) lần lượt là hình chiếu song song của \(A\) và \(B\) trên \(\left( \alpha  \right)\) theo phương của đường thẳng \(d\). Ba điểm \(O,A',B'\) có thẳng hàng không? Vì sao? Chọn \(d\) sao cho:

a) \(A'B' = AB\);                                                                          

b) \(A'B' = 2AB\).

Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và  \(\left(\alpha\right)\) bằng \(30^0\)

a) Tính diện tích của thiết diện tạo bơi  \(\left(\alpha\right)\) và hình cầu

b) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua A vuông góc với mặt phẳng  \(\left(\alpha\right)\) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB ?

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song sng

c) Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) vuông góc với đường thẳng b mà b vuông góc với đường thẳng a thì a song song với  \(\left(\alpha\right)\)

d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song

e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song