Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính r nằm về một phía của đường thẳng AB. Lấy điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM'. Tìm tập hợp các điểm M' khi M di động trên (C) ?
Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính r nằm về một phía của đường thẳng AB. Lấy điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (C).
Do tứ giác ABMM’ là hình bình hành nên B A → = M M ' → là. Từ đó suy ra M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ B A → .Từ đó suy ra tập hợp các điểm M' là đường tròn (C') , ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ BA→.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AOB. Từ 1 điểm M tùy ý trên AB, vẽ 1 đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt nửa đường tròn tâm O tại C. Trên tia OC lấy I sao cho OI = MC. Tìm tập hợp các điểm I khi M di động trên AB
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R,kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm).Trên cung nhỏ Bc lấy một điểm M bất kì khác B và C.Gọi I , K , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các đoạn thẳng AB,AC,BC.
Chứng minh AIMK là tứ giác nội tiếp.
góc AIM+góc AKM=180 độ
=>AIMK nội tiếp
Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M ( M khác O). CM cắt đường tròn tâm O tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh:
1) Tứ giác OMNP nội tiếp
2) Tứ giác CMPO là hình bình hành
3) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
4) khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào?
cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác 0) đường thẳng CM cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác OMNP nội tiếp được đường tròn
b. Tứ giác CMPO là hình bình hành
C. Tính CM, CN không phụ thuộc vào vị trí M
1. Ta có ÐOMP = 900 ( vì PM ^ AB ); ÐONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến ).
Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 900 => M và N cùng nằm trên đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác OMNP nội tiếp => ÐOPM = Ð ONM (nội tiếp chắn cung OM)
Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ÐONC = ÐOCN
=> ÐOPM = ÐOCM.
Xét hai tam giác OMC và MOP ta có ÐMOC = ÐOMP = 900; ÐOPM = ÐOCM => ÐCMO = ÐPOM lại có MO là cạnh chung => DOMC = DMOP => OC = MP. (1)
Theo giả thiết Ta có CD ^ AB; PM ^ AB => CO//PM (2).
Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ÐMOC = 900 ( gt CD ^ AB); ÐDNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐMOC =ÐDNC = 900 lại có ÐC là góc chung => DOMC ~DNDC
=> => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
.
Bài 1: Cho dường tròn tâm O đường kính AB; M là một điểm di động trên đường tròn( m khác A và B). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với Ab tại H. Từ A và B kể tiếp tuyến BD và AC đến đường tròn tâm M.
a)Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD và đường tròn tâm O.
b) Tìm vị trí của M trên (O) để AC.BD đạt ghía trị lớn nhất.
c).lấy N là điểm cố định trên đường tròn (O); Gọi I là trung điểm của MN; P là hình chiếp của I trên MB; Khi M di chuyển trên (O) thì P chạy trên đường nào
Bài 1: Cho dường tròn tâm O đường kính AB; M là một điểm di động trên đường tròn( m khác A và B). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với Ab tại H. Từ A và B kể tiếp tuyến BD và AC đến đường tròn tâm M.
a)Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD và đường tròn tâm O.
b) Tìm vị trí của M trên (O) để AC.BD đạt ghía trị lớn nhất.
c).lấy N là điểm cố định trên đường tròn (O); Gọi I là trung điểm của MN; P là hình chiếp của I trên MB; Khi M di chuyển trên (O) thì P chạy trên đường nào
Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi ( α ) là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h (0 < h < r) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng ( α ) cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là đường kính di động của (C). Tìm tập hợp các điểm H, hình chiếu của B trên CD khi CD chuyển động trên đường tròn (C).
Ta có AH ⊥ DC. Do đó khi CD di động, điểm H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông. Vậy tập hợp các điểm H là đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng ( α ).
Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến tại A lấy 1 điểm K cố định. Một đường thẳng (d) thay đổi đi qua K và không đi qua tâm O cắt (O) tại B và C ( B nằm giữa C và K). Gọi M là trung điểm BC.
1.CM: A,O,M,K thuộc 1 đường tròn
2.Vẽ đường kính AN của đường tròn tâm O, đường thẳng qua A và vuông góc vứi BC cắt MN tại H.CM: tứ giác BHCN là hình bình hành.
3.CM: H là trực tâm tam giác ABC.
4. Khi đường thẳng (d) thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài thì H di động trên đường thẳng nào
Ai làm giúp với =((
a) ΔOBCΔOBC có OB=OC=ROB=OC=R nên ΔOBCΔOBC cân đỉnh OO,
có OMOM là đường trung tuyến nên OMOM cũng là đường cao
⇒OM⊥CB⇒OM⊥CB
⇒ˆOMB=90o⇒OMB^=90o
Tứ giác AOMKAOMK có ˆOMK+ˆOAK=90o+90o=180oOMK^+OAK^=90o+90o=180o
Do đó AOMKAOMK nội tiếp đường tròn đường kính (OK)(OK)
b) Xét ΔAHNΔAHN có:
OM∥AHOM∥AH (vì cùng ⊥BC⊥BC)
OO là trung điểm của ANAN
⇒OM⇒OM là đường trung bình ΔAHNΔAHN
⇒M⇒M là trung điểm HNHN
Tứ giác BHCNBHCN có hai đường chéo CBCB và HNHN cắt nhau tại MM là trung điểm của mỗi đường
⇒BHCN⇒BHCN là hình bình hành.
c) Ta có ΔACNΔACN nội tiếp đường tròn (O)(O) đường kính ANAN
nên ˆACN=90o⇒CN⊥ACACN^=90o⇒CN⊥AC
Tứ giác BHCNBHCN là hình bình hành
⇒BH∥CN⇒BH∥CN mà CN⊥ACCN⊥AC
⇒BH⊥AC⇒BH⊥AC
Lại có AH⊥BCAH⊥BC
ΔABCΔABC có BHBH và CHCH là 2 đường cao cắt nhau tại HH
nên HH là trực tâm ΔABCΔABC
d) MM là trung điểm cạnh BCBC
Lấy điểm O′O′ đối xứng với OO qua MM do B,CB,C cố định suy ra MM cố đinh suy ra O′O′ cố định
Ta có: OM∥AHOM∥AH (vì vùng ⊥BC⊥BC)
⇒OO′∥AH⇒OO′∥AH,
OMOM là đường trung bình ΔAHN⇒OM=12AH⇒AH=2OM=OO′ΔAHN⇒OM=12AH⇒AH=2OM=OO′
Do đó AOO′HAOO′H là hình bình hành
⇒O′H=OA=R⇒O′H=OA=R không đổi
Dựng hình bình hành HO′KTHO′KT ta được KT∥O′HKT∥O′H và có KT=O′HKT=O′H nên TT cố định
TH=O′K=OKTH=O′K=OK
Vậy H∈(T;KO)